Математика · ҰБТ 2026 · 10. Кеңістіктегі векторлар мен түрлендірулер
Кеңістіктегі векторлар мен түрлендірулер.
Тест тапсыру үшін жүйеге кіру немесе тіркелу керек.
Конспект
Оқулықтық тірек
- Солтан Г., Солтан А., Жұмаділова Ә. «Геометрия. ЖМБ 10-сынып», 10-сынып, Келешек-2030, 2020, с. 95–98, 103–106, 115–122, 127–130, 139–142, 151–162, 167–174
- Солтан Г.Н., Солтан А.Е., Жұмаділова А.Ж. «Геометрия» (ЖМ бағыт), 2-бөлім, 11-сынып, 2020, с. 68–73, 166–172
- ИнтернетУрок, «Движение и подобие в пространстве»: https://interneturok.ru/h/biblioteka/geometriia/11-klass/dvizhenie-i-podobie-v-prostranstve-bazoviy-uroveny/1
- Wikipedia: https://ru.wikipedia.org/wiki/Центральная_симметрия ; https://ru.wikipedia.org/wiki/Параллельный_перенос ; https://ru.wikipedia.org/wiki/Осевая_симметрия ; https://ru.wikipedia.org/wiki/Отражение_(геометрия)
Негізгі ұғымдар
- Вектор — басы мен ұшы көрсетілген бағытталған кесінді; нөлдік вектор — басы мен ұшы беттеседі, ұзындығы $0$. Ұзындығы 1 вектор — бірлік вектор (орт).
- Тең векторлар — бағыттас және ұзындықтары тең.
- Коллинеар — бір түзудің немесе параллель түзулердің бойында жатқан векторлар: $\vec b=k\vec a$. Нөлдік вектор кез келген векторға коллинеар.
- Компланар — бір жазықтыққа параллель векторлар. Кез келген екі вектор компланар; үш вектор компланар болуы да, болмауы да мүмкін: $\vec c=x\vec a+y\vec b$.
Теория
Координаталар формулалары. $A(x_1;y_1;z_1)$, $B(x_2;y_2;z_2)$:
| Шама | Формула |
|---|---|
| Вектор | $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1)$ |
| Ұзындық | $\lvert\vec a\rvert=\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$ |
| Қашықтық | $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ |
| Кесінді ортасы | $\left(\frac{x_1+x_2}2;\ \frac{y_1+y_2}2;\ \frac{z_1+z_2}2\right)$ |
| Скаляр көбейтінді | $\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ |
| Бұрыш | $\cos\varphi=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert}$, $0^\circ\le\varphi\le180^\circ$ |
Нүктеден координаталар басына дейінгі қашықтық $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Векторлар тең $\iff$ сәйкес координаталары тең. Скаляр көбейтінді формуласы орттар қасиетінен шығады: $\vec i^2=\vec j^2=\vec k^2=1$, $\vec i\cdot\vec j=\vec j\cdot\vec k=\vec i\cdot\vec k=0$.
Шарттар.
- Коллинеарлық: $\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{z_2}{z_1}=k$; $k>0$ — бағыттас, $k<0$ — қарама-қарсы.
- Перпендикулярлық: $\vec a\perp\vec b\iff x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$.
- Компланарлық: үш вектордың координаталарынан құрылған анықтауыш нөлге тең.
- Кесінді ортасы формуласы төртбұрыштың параллелограмм екенін тексеруге (диагональдардың орталары беттеседі) және сфера центрін диаметр ұштары бойынша табуға қолданылады.
Жазықтық пен түзу теңдеулері.
- Нормаль вектор $\vec n=(A;B;C)$ — жазықтыққа перпендикуляр нөлдік емес вектор. $M_0(x_0;y_0;z_0)$ арқылы өтетін жазықтық: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$, жалпы түрі $Ax+By+Cz+D=0$.
- Бағыттаушы вектор $\vec s=(m;p;q)$ — түзуге параллель вектор. Канондық теңдеу: $\dfrac{x-x_0}m=\dfrac{y-y_0}p=\dfrac{z-z_0}q$.
- Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық: $d=\frac{\lvert Ax_0+By_0+Cz_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}};$ параллель жазықтықтар арасындағы: $d=\dfrac{\lvert D_1-D_2\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.
Ұқсастық түрлендіруі (кеңістікте). Ұқсастық коэффициенті $k$ болса: сызықтық өлшемдер $k$, беттердің аудандары $k^2$, көлемдер $k^3$ қатынасында.
Кеңістіктегі қозғалыстар
Қозғалыс — нүктелер арасындағы қашықтықты сақтайтын түрлендіру; кесінді кесіндіге, түзу түзуге, жазықтық жазықтыққа, фигура өзіне тең фигураға көшеді.
| Түрі | Анықтамасы | Координаталық формула |
|---|---|---|
| Центрлік симметрия | $O$ нүктесі $MM_1$ кесіндісінің ортасы болады | $O$ — бас нүкте болса, $(x;y;z)\to(-x;-y;-z)$ |
| Осьтік симметрия | $MM_1$ кесіндісі оське перпендикуляр әрі оспен қақ бөлінеді | |
| Айналы симметрия | $MM_1$ кесіндісі жазықтыққа перпендикуляр әрі жазықтықпен қақ бөлінеді; жазықтық нүктелері орнында қалады | |
| Параллель көшіру | барлық нүкте бір $\vec p$ векторына жылжиды | координаталарға вектор координаталары қосылады |
| Бұру | нүкте оське перпендикуляр жазықтықта $\varphi$ бұрышына бұрылады |
Мысалдар
1-мысал. $A(1;2;-1)$, $B(3;-2;3)$. $AB$ ұзындығы мен ортасы. Шешуі: $\overrightarrow{AB}=(2;-4;4)$, $AB=\sqrt{4+16+16}=6$; ортасы $(2;0;1)$.
2-мысал. $\vec a=(1;2;2)$, $\vec b=(2;-2;1)$. Бұрыш? Шешуі: $\vec a\cdot\vec b=2-4+2=0$ — векторлар перпендикуляр, $\varphi=90^\circ$.
3-мысал. $\vec a=(2;-1;3)$ және $\vec b=(-4;y;-6)$ коллинеар. $y$? Шешуі: $k=\frac{-4}2=-2$, $y=-1\cdot(-2)=2$.
4-мысал. $M(1;2;3)$ нүктесінен $2x+y-2z+6=0$ жазықтығына дейінгі қашықтық. Шешуі: $d=\dfrac{|2+2-6+6|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac43$.
ҰБТ-дағы жиі қателер
- Вектор координатасын «бас минус ұш» деп алу (дұрысы ұштан басты азайту).
- Бұрыш косинусында ұзындықтардың көбейтіндісіне емес, біреуіне ғана бөлу.
- Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықта модульді жоғалту немесе $D$-ны бөлімдегі түбір астына қосу.
- Коллинеарлық шартында координаталар қатынасын әртүрлі ретпен алу.
- Ұқсас денелер көлемдеріне $k^3$ орнына $k^2$ қолдану.
- Тең векторлар үшін тек ұзындықтарының теңдігін жеткілікті деп санау (бағыттары да бірдей болуы керек).
Өзіңді тексер
- $\vec a=(2;3;6)$ ұзындығы? Жауабы: $\sqrt{4+9+36}=7$.
- $\vec a=(1;x;2)$, $\vec b=(3;1;-2)$ перпендикуляр болатын $x$? Жауабы: $3+x-4=0$, $x=1$.
- $2x-y+3z-5=0$ жазықтығының нормаль векторы? Жауабы: $(2;-1;3)$.
- Ұқсас екі кубтың қырлары $1:3$. Көлемдер қатынасы? Жауабы: $1:27$.
- Нөлдік вектор кез келген векторға коллинеар ма? Жауабы: Иә, солай деп есептеледі.