Кеңістіктегі метрикалық қатыстар.

Оқулықтық тірек

• Солтан Г., Солтан А., Жұмаділова Ә. «Геометрия. ЖМБ 10-сынып», 10-сынып, Келешек-2030, 2020, с. 55–58, 69–73
• Солтан Г.Н., Солтан А.Е., Жұмаділова А.Ж. «Геометрия» (ЖМ бағыт), 2-бөлім, 11-сынып, 2020, с. 24–29, 32–35, 42–45, 95–99, 105–108, 126–132, 141–165

Негізгі ұғымдар

• Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық — түсірілген перпендикулярдың ұзындығы. Параллель түзу мен жазықтық арасындағы қашықтық — түзудің кез келген нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықтық.
• Айқас түзулер арасындағы қашықтық: 1) ортақ перпендикулярдың ұзындығы; 2) бір түзудің нүктесінен екінші түзу арқылы біріншіге параллель өтетін жазықтыққа дейінгі қашықтық; 3) осы түзулер арқылы өтетін параллель жазықтықтардың арақашықтығы.
• Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш — көлбеу мен оның проекциясы арасындағы сүйір бұрыш; перпендикуляр түзу үшін $90^\circ$, параллель (немесе жазықтықта жатқан) түзу үшін $0^\circ$.

Теория

Бұрышты есептеу. $h$ — перпендикуляр, $L$ — көлбеу, $p$ — проекция: $\sin\varphi=\frac hL,\qquad\cos\varphi=\frac pL,\qquad\operatorname{tg}\varphi=\frac hp.$

Беттің аудандары.

Дене	Бүйір беті	Толық беті
Тік призма	$S_{б}=P_{таб}\cdot H$	$S_{б}+2S_{таб}$
Көлбеу призма	$S_{б}=P_{\perp}\cdot L$ ($P_\perp$ — перпендикуляр қима периметрі)	$S_{б}+2S_{таб}$
Дұрыс пирамида	$S_{б}=\frac12P_{таб}\cdot h_a$	$S_{б}+S_{таб}$
Дұрыс қиық пирамида	$S_{б}=\frac{P_1+P_2}2\cdot h_a$	$S_{б}+S_1+S_2$
Цилиндр	$2\pi RH$	$2\pi R(H+R)$
Конус	$\pi RL$	$\pi R(L+R)$
Сфера	—	$4\pi R^2=\pi D^2$
Бүйір жақтары табанға бірдей $\beta$ бұрышпен көлбеген пирамида: $S_{б}=\dfrac{S_{таб}}{\cos\beta}$. Сфералық сегмент (белдеу) ауданы $2\pi Rh$.
Дұрыс призмалар: үшбұрышты $S_{таб}=\frac{a^2\sqrt3}4$; төртбұрышты $a^2$; алтыбұрышты $\frac{3a^2\sqrt3}2$.
Теңқабырғалы цилиндр ($H=2R$): $S_{б}=4\pi R^2$, $S_{т}=6\pi R^2$. Теңқабырғалы конус ($L=2R$): $S_{б}=2\pi R^2$, $S_т=3\pi R^2$.

Көлемдер.

Дене	Көлем
Призма (кез келген)	$V=S_{таб}\cdot H$ ($=S_\perp\cdot L$)
Тікбұрышты параллелепипед	$V=abc$
Пирамида	$V=\frac13S_{таб}\cdot H$
Қиық пирамида	$V=\frac13H\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right)$
Цилиндр	$V=\pi R^2H$; теңқабырғалы $2\pi R^3$
Конус	$V=\frac13\pi R^2H$
Қиық конус	$V=\frac13\pi H\left(R_1^2+R_1R_2+R_2^2\right)$
Шар	$V=\frac43\pi R^3=\frac16\pi D^3$
Шар сегменті	$V=\pi h^2\left(R-\frac h3\right)$
Шар секторы	$V=\frac23\pi R^2h$

Конустың бүйір беті жазбасы — радиусы $L$, доғасы $2\pi R$ сектор: $S=\frac12\cdot2\pi R\cdot L$.

Мысалдар

1-мысал. Көлбеудің ұзындығы $10$, проекциясы $6$. Көлбеу мен жазықтық арасындағы бұрыштың синусы? Шешуі: $h=\sqrt{100-36}=8$, $\sin\varphi=\frac8{10}=0{,}8$.

2-мысал. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табан қабырғасы $6$, апофемасы $5$. Толық беті мен көлемі. Шешуі: $S_б=\frac12\cdot24\cdot5=60$, $S_т=60+36=96$. $H=\sqrt{25-9}=4$, $V=\frac13\cdot36\cdot4=48$.

3-мысал. Конустың $R=3$, $H=4$. Толық беті мен көлемі. Шешуі: $L=5$; $S_т=\pi\cdot3(5+3)=24\pi$; $V=\frac13\pi\cdot9\cdot4=12\pi$.

4-мысал. Шардың радиусы 2 есе артса, көлемі мен бет ауданы қалай өзгереді? Шешуі: көлем $2^3=8$ есе, бет ауданы $2^2=4$ есе артады.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Призманың толық бетінде бір ғана табанды қосу; көлбеу призмаға $P_{таб}\cdot L$ қолдану.
• Көлбеу призма көлемін $S_{таб}\cdot L$ деп есептеу (биіктік $H$ керек).
• Пирамида мен конус формулаларында $\frac12$ немесе $\frac13$ көбейткішін ұмыту.
• Апофема $h_a$ орнына биіктік $H$, жасаушы $L$ орнына $H$ қою.
• Қиық пирамидада $\sqrt{S_1S_2}$ орнына орта мәнді алу; қиық конуста $2R_1R_2$ жазу.
• Шар көлемі $\frac43\pi R^3$ мен сфера ауданы $4\pi R^2$-ты шатастыру; цилиндр көлемін $2\pi RH$ деп жазу.

Өзіңді тексер

1. Цилиндрдің $R=2$, $H=5$. Көлемі? Жауабы: $20\pi$.
2. Шардың $R=3$. Сфера ауданы мен шар көлемі? Жауабы: $36\pi$ және $36\pi$.
3. Кубтың қыры $a$. Толық беті мен көлемі? Жауабы: $6a^2$ және $a^3$.
4. Түзу жазықтыққа перпендикуляр. Олардың арасындағы бұрыш? Жауабы: $90^\circ$.
5. Табан ауданы мен биіктігі бірдей цилиндр мен конустың көлемдерінің қатынасы? Жауабы: $3:1$.