Кеңістіктегі геометриялық фигуралар туралы түсінік.

Оқулықтық тірек

• Солтан Г., Солтан А., Жұмаділова Ә. «Геометрия. ЖМБ 10-сынып», 10-сынып, Келешек-2030, 2020, с. 11–19, 24–33, 38–42, 64–68
• Солтан Г.Н., Солтан А.Е., Жұмаділова А.Ж. «Геометрия» (ЖМ бағыт), 2-бөлім, 11-сынып, 2020, с. 17–23, 29–33, 89–94, 100–104, 117–125

Негізгі ұғымдар

• С1: бір түзуде жатпайтын үш нүкте арқылы бір ғана жазықтық өтеді. С2: түзудің екі нүктесі жазықтықта жатса, түзу толығымен сол жазықтықта жатады. С3: екі жазықтықтың ортақ нүктесі болса, олар сол нүкте арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.
• Жазықтық бірмәнді анықталады: үш нүкте; түзу және одан тыс нүкте; қиылысатын екі түзу; параллель екі түзу.

Теория

Кеңістіктегі екі түзу: бір жазықтықта жатса — қиылысады, параллель немесе беттеседі; бір жазықтықта жатпаса — айқас (ортақ нүкте жоқ, параллель емес). Айқас түзулер белгісі: бір түзу жазықтықта жатса, ал екіншісі жазықтықты бірінші түзуге тиісті емес нүктеде қиса — түзулер айқас.

Түзу мен жазықтық: қиылысады (1 нүкте), жазықтықта жатады, параллель (ортақ нүкте жоқ). Белгі: жазықтықта жатпайтын түзу жазықтықтағы бір түзуге параллель болса, ол жазықтыққа параллель.

Параллель жазықтықтар (ортақ нүкте жоқ). Белгі: бір жазықтықтың қиылысатын екі түзуі екінші жазықтықтың қиылысатын екі түзуіне сәйкес параллель. Үшінші жазықтықпен қиылысу түзулері параллель; араларындағы параллель кесінділер тең.

Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы. Анықтама: түзу жазықтықтағы кез келген түзуге перпендикуляр. Белгі: жазықтықтағы қиылысатын екі түзуге перпендикуляр болса жеткілікті. Бір жазықтыққа перпендикуляр екі түзу параллель; параллель түзулердің бірі жазықтыққа перпендикуляр болса, екіншісі де перпендикуляр.

Үш перпендикуляр туралы теорема. $AB\perp\alpha$, $AC$ — көлбеу, $BC$ — оның проекциясы. Жазықтықтағы $C$ арқылы өтетін $c$ түзуі: $c\perp BC\iff c\perp AC$.

Көпжақтар.

• Призма: табандары — параллель жазықтықтардағы тең $n$-бұрыштар, бүйір жақтары — параллелограмдар; бүйір қырлары тең және параллель. Тік призма — бүйір қыры табанға перпендикуляр ($H=L$, бүйір жақтары тіктөртбұрыш); көлбеу — $Hдұрыс — табаны дұрыс көпбұрыш болатын тік призма.
• Пирамида: табаны — көпбұрыш, бүйір жақтары — ортақ төбелі үшбұрыштар. Дұрыс пирамида: табаны дұрыс көпбұрыш, төбенің проекциясы табан центрі. Бүйір қырлары, апофемалары тең; $H^2+R^2=L^2,\qquad H^2+r^2=h_a^2,\qquad h_a^2+\left(\tfrac a2\right)^2=L^2,$ $R$, $r$ — табанға сырттай және іштей сызылған шеңбер радиустары, $h_a$ — апофема.

Айналу денелері.

Дене	Неден айналады	Осьтік қима	Байланыс
Цилиндр	тіктөртбұрыш қабырғасы бойымен	$2R\times H$ тіктөртбұрыш	$L=H$
Конус	тікбұрышты үшбұрыш катеті бойымен	бүйірі $L$, табаны $2R$ теңбүйірлі үшбұрыш	$L^2=H^2+R^2$
Шар	жартыдөңгелек диаметрі бойымен	үлкен дөңгелек	$D=2R$
$H=2R$ болса — теңқабырғалы цилиндр (осьтік қимасы шаршы); $L=2R$ — теңқабырғалы конус.

Сфера — центрден $R$ қашықтықтағы нүктелер; шар — $|OM|\le R$ нүктелер. Теңдеуі: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$. Сфера мен жазықтық ($d$ — центрден жазықтыққа дейінгі қашықтық): $dR$ — ортақ нүкте жоқ.

Мысалдар

1-мысал. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табан қабырғасы $6$, биіктігі $4$. Апофема? Шешуі: $r=3$; $h_a=\sqrt{H^2+r^2}=\sqrt{16+9}=5$.

2-мысал. Конустың жасаушысы $13$, радиусы $5$. Биіктігі? Шешуі: $H=\sqrt{169-25}=12$.

3-мысал. Радиусы $10$ шарды центрден $6$ қашықтықтағы жазықтық қиды. Қима радиусы? Шешуі: $r=\sqrt{100-36}=8$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Қиылыспайтын түзулердің бәрін параллель деп санау (айқас түзулер бар).
• Перпендикулярлық белгісінде бір түзуге немесе параллель екі түзуге перпендикулярлықты жеткілікті деп есептеу.
• Тік призма мен дұрыс призманы шатастыру.
• Пирамида биіктігі мен апофеманы шатастыру; апофемада $r$ орнына $R$ қолдану.
• Осьтік қиманың табанын $R$ деп алу ($2R$ болуы керек).
• $d=R$ кезінде қимада шеңбер шығады деп ойлау.

Өзіңді тексер

1. Үш нүкте арқылы әрқашан бір ғана жазықтық өте ме? Жауабы: Тек олар бір түзуде жатпаса.
2. Айқас түзулер бір жазықтықта жата ма? Жауабы: Жоқ.
3. Цилиндрдің осьтік қимасы шаршы болса, $H$ мен $R$ байланысы? Жауабы: $H=2R$.
4. Дұрыс пирамиданың бүйір жақтары қандай үшбұрыштар? Жауабы: Өзара тең теңбүйірлі үшбұрыштар.
5. Сфера центрінен жазықтыққа дейін $5$, $R=5$. Орналасуы? Жауабы: Жазықтық сфераға жанама.