Метрикалық қатыстар. Векторлар және түрлендірулер.

Оқулықтық тірек

• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Геометрия. 8-сынып», 8-сынып, Атамұра, 2018, с. 69, 70, 72, 73, 97–103
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Геометрия. 9-сынып», 9-сынып, Атамұра, 2019, с. 20–25, 29, 31, 32, 35, 38, 44, 58, 84–86, 88, 101, 105, 108–114, 136, 137

Негізгі ұғымдар

• Пифагор теоремасы: тікбұрышты үшбұрышта $a^2+b^2=c^2$. Кері теорема: $a^2+b^2=c^2$ болса, үшбұрыш тікбұрышты.
• Пифагор үштіктері: $3,4,5$; $5,12,13$; $6,8,10$; $9,12,15$; $10,24,26$; $15,20,25$.
• Қозғалыс — кез келген екі нүкте арасындағы қашықтықты сақтайтын түрлендіру: центрлік және осьтік симметрия, бұру, параллель көшіру.
• Ұқсастық коэффициенті $k$: периметрлер $k$ қатынасында, аудандар $k^2$ қатынасында.

Теория

Косинустар теоремасы. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,\qquad \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$ $C=90^\circ$ болса — Пифагор теоремасы. Үшбұрыш түрі: $c^2$ — доғал (ең үлкен қабырғаны аламыз).

Синустар теоремасы. $\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R,$ $R$ — сырттай сызылған шеңбердің радиусы. Синус бойынша бұрыш екі мәнді болуы мүмкін (сүйір не доғал).

Аудан формулалары.

Фигура	Формула
Үшбұрыш	$S=\frac12ah$; $S=\frac12ab\sin C$; тікбұрышты: $\frac12ab$ (катеттер)
Герон формуласы	$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $p=\frac{a+b+c}2$
Трапеция	$S=\frac{a+b}2\cdot h=m\cdot h$ ($m$ — орта сызық)
Биіктіктер: $ah_a=bh_b=ch_c=2S$ — үлкен қабырғаға түсірілген биіктік кіші.

Векторлар.

• Үшбұрыш ережесі: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$; параллелограмм ережесі: бір нүктеден салынған векторлардың қосындысы — диагональ; тұйық сынық сызық бойынша қосынды $\vec0$.
• Айырма: $\overrightarrow{OA}=\vec a$, $\overrightarrow{OB}=\vec b$ болса $\overrightarrow{BA}=\vec a-\vec b$.
• $k\vec a$: ұзындығы $|k||\vec a|$; $k>0$ — бағыттас, $k<0$ — қарама-қарсы.
• Скаляр көбейтінді: $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\varphi$, $\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$. $\vec a\cdot\vec b=0$ — перпендикуляр векторлар. Мәні $-|\vec a||\vec b|$ мен $|\vec a||\vec b|$ аралығында.

Түрлендірулер. Қозғалыс кезінде кесінді тең кесіндіге, түзу түзуге, сәуле сәулеге, үшбұрыш тең үшбұрышқа, бұрыш тең бұрышқа көшеді; ауданы мен периметрі өзгермейді. Қозғалыстардың композициясы да қозғалыс. Ұқсас фигуралар: $\dfrac{S_1}{S_2}=k^2$; дөңгелектер аудандары радиустардың квадраттарындай қатынаста (радиус 2 есе кемісе, аудан 4 есе кемиді).

Мысалдар

1-мысал. Үшбұрыштың $b=5$, $c=8$, $A=60^\circ$. $a$ табыңыз. Шешуі: $a^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=49$, $a=7$.

2-мысал. Қабырғалары $13,14,15$ үшбұрыштың ауданы. Шешуі: $p=21$; $S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84$.

3-мысал. $a=10$, $A=30^\circ$. Сырттай сызылған шеңбер радиусы? Шешуі: $2R=\frac{10}{\sin30^\circ}=20$, $R=10$.

4-мысал. $|\vec a|=2$, $|\vec b|=3$, $\varphi=120^\circ$. $\vec a\cdot\vec b$? Шешуі: $2\cdot3\cdot\left(-\frac12\right)=-3$.

5-мысал. Ұқсас үшбұрыштардың аудандары $16$ және $36$. Ұқсастық коэффициенті? Шешуі: $k^2=\frac{36}{16}$, $k=\frac32$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Пифагор теоремасында қабырғалардың квадраттарын емес, өздерін қосу; гипотенуза ретінде ең үлкен қабырғаны алмау.
• Косинустар теоремасында берілген қабырғалар арасындағы емес бұрышты алу; доғал бұрыш косинусының минусын жоғалту.
• Синустар теоремасында $R$ мен $2R$-ді шатастыру.
• Аудан формуласында $\frac12$ көбейткішін ұмыту; Герон формуласына периметрді қою.
• Аудандарға $k^2$ орнына $k$ қолдану.
• $|\vec a+\vec b|=|\vec a|+|\vec b|$ деп әрқашан есептеу (тек бағыттас векторлар үшін дұрыс).

Өзіңді тексер

1. Катеттері $5$ және $12$. Гипотенуза? Жауабы: $13$.
2. Қабырғалары $5,6,9$ үшбұрыш қандай? Жауабы: $81>25+36$ — доғал бұрышты.
3. Табандары $4$ және $10$, биіктігі $5$ трапеция ауданы? Жауабы: $\frac{4+10}2\cdot5=35$.
4. $\vec a\cdot\vec b=0$ нені білдіреді (нөлдік емес векторлар)? Жауабы: Векторлар перпендикуляр.
5. Қозғалыс кезінде фигураның ауданы өзгере ме? Жауабы: Жоқ, қозғалыс қашықтықтарды сақтайды.