Геометриялық фигуралар туралы түсінік. Геометриялық фигуралардың өзара орналасуы.

Оқулықтық тірек

• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Бектасова А.И. «Геометрия. 7-сынып», 7-сынып, Атамұра, 2025, с. 9, 10, 15–18, 25, 26, 30, 31, 36, 40, 41, 48, 50, 59–61, 63, 66, 67, 69, 70, 78, 81–87, 113, 114
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Геометрия. 8-сынып», 8-сынып, Атамұра, 2018, с. 16–19, 21, 25, 27–29, 31–33

Негізгі ұғымдар

• Кесінді $AB$ — ұштары $A$, $B$ және олардың арасындағы нүктелер. Сәуле — бастапқы нүктесі бар жарты түзу; ортақ бастапқы нүктелі, бір түзу құрайтын екі сәуле — толықтауыш.
• Бұрыш — ортақ төбелі екі сәуле; $\angle AOB$ жазбасында ортаңғы әріп — төбе. Жазыңқы бұрыш $180^\circ$, тік бұрыш $90^\circ$.
• Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі: ұштары әртүрлі жарты жазықтықта жатқан кесінді түзуді қияды.
• Үшбұрыш — бір түзуде жатпайтын үш нүкте мен оларды қосатын кесінділер.

Теория

Бұрыштар. Сыбайлас бұрыштардың қосындысы $180^\circ$; вертикаль бұрыштар тең.

Параллель түзулер және қиюшы.

Бұрыштар жұбы	Параллель болғанда
ішкі айқыш	тең
сәйкес	тең
ішкі тұстас	қосындысы $180^\circ$
Бұл — әрі белгі (бұрыштар → параллель), әрі қасиет (параллель → бұрыштар).

Үшбұрыш. Ішкі бұрыштар қосындысы $180^\circ$. Сыртқы бұрыш өзімен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең және олардың әрқайсысынан үлкен. Теңбүйірлі үшбұрышта табандағы бұрыштар тең (берілген бұрыш табанда ма, төбеде ме — екі жағдай).

Үшбұрыштар теңдігінің белгілері: I — екі қабырға және арасындағы бұрыш; II — қабырға және оған іргелес екі бұрыш; III — үш қабырға. «Екі қабырға және біреуіне қарсы бұрыш» және «үш бұрыш» — белгі емес.

Көпбұрыштар. Дөңес $n$-бұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы $(n-2)\cdot180^\circ$; сыртқы бұрыштарының қосындысы (әр төбеде біреуден) — әрқашан $360^\circ$. Дұрыс көпбұрыш: $n=\dfrac{360^\circ}{180^\circ-\alpha}$.

Төртбұрыштар.

Фигура	Негізгі қасиеттер
Параллелограмм	қарама-қарсы қабырғалары мен бұрыштары тең; диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді; көршілес бұрыштар қосындысы $180^\circ$
Тіктөртбұрыш	барлық бұрышы тік; диагональдары тең
Ромб	барлық қабырғасы тең; диагональдары перпендикуляр және бұрыштарды қақ бөледі
Шаршы	тіктөртбұрыш та, ромб та: барлық қасиет бірге
Параллелограмм бұрышының биссектрисасы теңбүйірлі үшбұрыш қиып алады.

Түзу мен шеңбер ($d$ — центрден түзуге дейінгі қашықтық): $dқиюшы (екі нүкте); $d=R$ — жанама (бір нүкте); $d>R$ — ортақ нүкте жоқ. Жанама жанасу нүктесіне жүргізілген радиусқа перпендикуляр.

Екі шеңбер ($R_1>R_2$, $d=O_1O_2$):

Орналасуы	Шарт
екі нүктеде қиылысады	$R_1-R_2
сырттай жанасады	$d=R_1+R_2$
іштей жанасады	$d=R_1-R_2$
бірі екіншісінің сыртында	$d>R_1+R_2$
бірі екіншісінің ішінде	$d

Мысалдар

1-мысал. Сыбайлас бұрыштардың қатынасы $2:3$. Бұрыштарды табыңыз. Шешуі: $2x+3x=180^\circ$, $x=36^\circ$: $72^\circ$ және $108^\circ$.

2-мысал. Дұрыс көпбұрыштың әр бұрышы $150^\circ$. Қабырғалар саны? Шешуі: сыртқы бұрыш $30^\circ$, $n=\frac{360^\circ}{30^\circ}=12$.

3-мысал. $R_1=7$, $R_2=3$, $d=4$. Шеңберлердің орналасуы? Шешуі: $d=R_1-R_2$ — іштей жанасады.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Ішкі тұстас бұрыштарды тең деп алу (қосындысы $180^\circ$).
• Сыртқы бұрышты сыбайлас ішкі бұрышқа теңеу.
• Көпбұрыш формуласында $(n-2)$ орнына $n$ немесе $(n-1)$ алу; сыртқы бұрыштар қосындысы $n$-ге тәуелді деп ойлау.
• Параллелограмм мен ромбтың диагональдарын тең деп есептеу.
• Іштей және сырттай жанасуды шатастыру; диаметрді радиус деп салыстыру.

Өзіңді тексер

1. Бесбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы? Жауабы: $3\cdot180^\circ=540^\circ$.
2. Екі түзу қиылысқанда бір бұрыш $40^\circ$. Қалған бұрыштар? Жауабы: $40^\circ$, $140^\circ$, $140^\circ$.
3. $R=5$, центрден түзуге дейін $5$. Түзу шеңбермен қалай орналасқан? Жауабы: Жанама.
4. Қандай төртбұрыштың диагональдары тең әрі перпендикуляр? Жауабы: Шаршы.
5. Үш бұрышы сәйкесінше тең үшбұрыштар міндетті түрде тең бе? Жауабы: Жоқ, бұл теңдік белгісі емес.