Математикалық анализ бастамалары. Математикалық модельдеудің көмегімен есеп шығару.

Оқулықтық тірек

• Абылкасымова А.Е., Кучер Т.П., Корчевский В.Е., Жумагулова З.А. «Алгебра және анализ бастамалары. 10-сынып ЖМБ», 10-сынып, Мектеп, 2019, с. 227–232, 245–250, 257–262, 269–286, 371–376, 403–416
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра және анализ бастамалары» (ЖМ бағыт), 1-бөлім, 11-сынып, Атамұра, 2020, с. 11–20, 41–51

Негізгі ұғымдар

• Туындының геометриялық мағынасы: $f'(x_0)=k=\operatorname{tg}\alpha$ — $x_0$ нүктесіндегі жанаманың бұрыштық коэффициенті.
• Физикалық мағынасы: $v(t)=s'(t)$ — лездік жылдамдық, $a(t)=v'(t)=s''(t)$ — үдеу; $I=q'(t)$, $N=A'(t)$.
• Алғашқы функция: $F'(x)=f(x)$; барлық алғашқылар $F(x)+C$ — анықталмаған интеграл $\int f(x)\,dx$.
• Ньютон—Лейбниц формуласы: $\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

Теория

Туындылар кестесі мен ережелер.

Функция	Туынды		Ереже
$C$	$0$		$(u\pm v)'=u'\pm v'$
$x^n$	$nx^{n-1}$		$(Cu)'=Cu'$
$\sqrt x$	$\frac1{2\sqrt x}$		$(uv)'=u'v+uv'$
$\frac1x$	$-\frac1{x^2}$		$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
$\sin x$	$\cos x$		$(\sin(kx+b))'=k\cos(kx+b)$
$\cos x$	$-\sin x$		$(\cos(kx+b))'=-k\sin(kx+b)$
$\operatorname{tg}x$	$\frac1{\cos^2x}$		$(\operatorname{tg}u)'=\frac{u'}{\cos^2u}$
$\operatorname{ctg}x$	$-\frac1{\sin^2x}$

Жанама. $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$. $f'(x_0)>0$ — бұрыш сүйір; $f'(x_0)<0$ — доғал; $f'(x_0)=0$ — жанама $Ox$-ке параллель.

Функцияны зерттеу. $D(f)$ → $f'(x)$ → кризистік нүктелер ($f'(x)=0$) → аралықтар әдісімен таңба. $f'>0$ — өседі, $f'<0$ — кемиді. Экстремум: $f'$ таңбасы $+$-тен $-$-ке ауысса — максимум, $-$-тен $+$-ке — минимум, ауыспаса — экстремум жоқ. Екінші белгі: $f'(x_0)=0$ және $f''(x_0)<0$ — max, $f''(x_0)>0$ — min.

Кесіндідегі ең үлкен/ең кіші мән $[a;b]$: $f'(x)=0$ түбірлерінің ішінен кесіндіге кіретіндерін таңдап, оларда және шеткі $a$, $b$ нүктелерінде мәндерді есептеп, ең үлкені мен ең кішісін аламыз.

Математикалық модельдеу (оңтайландыру). 1) тәуелсіз айнымалы $x$ таңдау (шектерімен); 2) оңтайландырылатын шаманы $Y=f(x)$ түрінде өрнектеу; 3) туынды арқылы экстремумды табу; 4) есептің сұрағына жауап беру.

Интегралдар кестесі ($+C$): $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ($n\ne-1$); $\int\cos x\,dx=\sin x$; $\int\sin x\,dx=-\cos x$; $\int\frac{dx}{\cos^2x}=\operatorname{tg}x$; $\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\operatorname{ctg}x$; $\int k\,dx=kx$. Тексеру — нәтижеден туынды алу.

Анықталған интеграл қасиеттері: $\int_a^b=-\int_b^a$; $\int_a^a=0$; $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$; сызықтық; $f\ge0\Rightarrow\int_a^bf\ge0$. Геометриялық мағынасы — қисықсызықты трапецияның ауданы.

Аудан. $S=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)dx$, мұнда $[a;b]$-да $f\ge g$; шектер $f(x)=g(x)$ теңдеуінен табылады. Функция таңбасын өзгертсе, интегралды бөліктерге бөлеміз.

Мысалдар

1-мысал. $f(x)=x^3-3x$ функциясының экстремумдары. Шешуі: $f'(x)=3x^2-3=0$, $x=\pm1$. Таңбалар: $+,-,+$. $x=-1$ — max, $f(-1)=2$; $x=1$ — min, $f(1)=-2$.

2-мысал. $y=x^2$ графигіне $x_0=1$ нүктесінде жүргізілген жанама. Шешуі: $f(1)=1$, $f'(x)=2x$, $f'(1)=2$; $y=1+2(x-1)=2x-1$.

3-мысал. $s(t)=t^3-2t$ (м). $t=2$ с кезіндегі жылдамдық пен үдеу. Шешуі: $v=3t^2-2=10$ м/с; $a=6t=12$ м/с$^2$.

4-мысал. $y=x^2$ және $y=x$ сызықтарымен шектелген фигураның ауданы. Шешуі: $x^2=x\Rightarrow x=0$, $x=1$; $[0;1]$-де $x\ge x^2$. $S=\int_0^1(x-x^2)dx=\frac12-\frac13=\frac16$.

5-мысал (модель). Периметрі 20 тіктөртбұрыштың ең үлкен ауданы. Шешуі: $S(x)=x(10-x)$, $S'=10-2x=0$, $x=5$; $S_{\max}=25$ (шаршы).

ҰБТ-дағы жиі қателер

• $(\cos x)'=\sin x$ деп жазу (минус жоғалады); $\int\sin x\,dx=\cos x$ деп жазу.
• $(uv)'=u'v'$ немесе бөлшек туындысында алымдағы таңбаны ауыстыру.
• Күрделі аргументте ішкі туындыны ($k$) ұмыту.
• Кесіндідегі ең үлкен мәнде шеткі нүктелерді тексермеу немесе кесіндіге кірмейтін кризистік нүктені алу.
• $f'(x_0)=0$ болса міндетті түрде экстремум деп ойлау.
• Анықталған интегралда $F(a)-F(b)$ алу немесе $C$ қосу; ауданда қай функция жоғары екенін тексермеу.

Өзіңді тексер

1. $(5x^4-\sqrt x)'$? Жауабы: $20x^3-\frac1{2\sqrt x}$.
2. $(\sin3x)'$? Жауабы: $3\cos3x$.
3. $\int_1^2 2x\,dx$? Жауабы: $4-1=3$.
4. Жанама $Ox$-ке параллель болса $f'(x_0)$ неге тең? Жауабы: $0$.
5. $f(x)=x^2-4x$ функциясының $[0;3]$ кесіндісіндегі ең кіші мәні? Жауабы: $f'=0$ кезінде $x=2$; $f(0)=0$, $f(2)=-4$, $f(3)=-3$; ең кішісі $-4$.