Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар.

Оқулықтық тірек

• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 9-сынып», 9-сынып, Атамұра, 2019, с. 80–90, 92–95, 97–103

Негізгі ұғымдар

• Арифметикалық прогрессия: $a_{n+1}=a_n+d$, $d$ — айырым (тұрақты). Жалпы мүшесі $n$-ге қатысты сызықтық: $a_n=kn+b$, мұнда $d=k$.
• Геометриялық прогрессия: $b_{n+1}=b_n\cdot q$, $q$ — еселік; $b_1\ne0$, $q\ne0$. Жалпы мүшесі көрсеткіштік: $b_n=b_1q^{n-1}$. (Оқулық $q\ne1$ деп те шектейді: $4,4,4,\ldots$ — геометриялық прогрессия емес.)
• Шексіз кемімелі геометриялық прогрессия: $|q|<1$.

Теория

Формулалар.

	Арифметикалық	Геометриялық
$n$-ші мүше	$a_n=a_1+(n-1)d$	$b_n=b_1q^{n-1}$
Сипаттамалық қасиет	$a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$	$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$ (оң мүшелер үшін $b_n=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}$)
$n$ мүшенің қосындысы	$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}2=\dfrac{2a_1+(n-1)d}2\cdot n$	$S_n=\dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}$, $q\ne1$
Шексіз қосынды	—	$S=\dfrac{b_1}{1-q}$, $\lvert q\rvert<1$

Қосымша фактілер.

• Арифметикалық прогрессияда шеттерінен бірдей қашықтықтағы мүшелердің қосындысы тең: $a_k+a_{n-k+1}=a_1+a_n$. Қосынды формуласы осыдан шығады: қосындыны тура және кері ретпен жазып қосамыз, $2S_n=n(a_1+a_n)$.
• Геометриялық прогрессия қосындысы: $S_n-qS_n=b_1-b_1q^n$.
• $q=1$ болса $S_n=nb_1$.
• Еселікті екі мүше бойынша табу: $q^m=\dfrac{b_{n+m}}{b_n}$; $q^2=c$ болса $q=\pm\sqrt c$ — екеуін де тексеру.
• $c$ саны арифметикалық прогрессияның мүшесі ме? $a_1+(n-1)d=c$ теңдеуінің шешімі натурал болуы керек.
• $1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}2$ (Гаусс: $1+\ldots+40=20\cdot41=820$); $1+2+\ldots+2^{63}=2^{64}-1$ (шахмат тақтасындағы дәндер).

Периодты бөлшек — шексіз кемімелі прогрессия қосындысы. Периодты бөлік еселігі $\frac1{10^s}$ ($s$ — период ұзындығы) прогрессия құрайды: $0{,}(3)=\dfrac{0{,}3}{1-0{,}1}=\dfrac13$; жалпы $0{,}(a)=\frac a9$, $0{,}(ab)=\frac{ab}{99}$. Аралас бөлшекте алдымен периодқа дейінгі бөлігін бөлеміз: $0{,}2(3)=\frac2{10}+\frac3{90}=\frac7{30}$.

Мәтінді есеп жоспары. 1) қандай шама прогрессия құрайды: бірдей қосылу — арифметикалық, бірдей еселеу — геометриялық; 2) $a_1,d$ (немесе $b_1,q$) және $n$ табу; 3) $a_n$ немесе $S_n$ формуласы; 4) жауап бірлігімен.

Мысалдар

1-мысал. Екі таңбалы 6-ға еселі сандар нешеу және олардың қосындысы? Шешуі: $12,18,\ldots,96$; $n=\frac{96-12}6+1=15$. $S_{15}=\frac{(12+96)\cdot15}2=810$.

2-мысал. Геометриялық прогрессияда $b_5=2$, $b_7=18$. $b_6$ табыңыз. Шешуі: $q^2=9$, $q=\pm3$; $b_6=b_5q=\pm6$. Екі жауап та дұрыс.

3-мысал. $9+3+1+\frac13+\ldots$ қосындысы. Шешуі: $b_1=9$, $q=\frac13$: $S=\dfrac9{1-\frac13}=13{,}5$.

4-мысал. Арифметикалық прогрессияда $a_1=-3$, $d=4$. $97$ саны оның мүшесі ме? Шешуі: $-3+4(n-1)=97\Rightarrow n=26$ — натурал, иә, $a_{26}=97$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• $a_n=a_1+nd$ немесе $b_n=b_1q^n$ деп жазу ($n-1$ орнына $n$).
• Қосынды формуласында 2-ге бөлуді ұмыту.
• $q^2=9$-дан тек $q=3$ алып, $q=-3$-ті жоғалту.
• $|q|\ge1$ болғанда шексіз қосынды формуласын қолдану.
• Мүшелер санын $\frac{a_n-a_1}d$ деп есептеп, 1-ді қоспау.
• Прогрессия түрін тек алғашқы екі мүше бойынша анықтау.
• Аралас периодты бөлшекте периодқа дейінгі цифрды жоғалту.

Өзіңді тексер

1. $a_1=5$, $d=-2$ болса $a_{10}$? Жауабы: $5-18=-13$.
2. $2,6,18,\ldots$ прогрессиясының алғашқы 5 мүшесінің қосындысы? Жауабы: $\frac{2(3^5-1)}{3-1}=242$.
3. $a_n=3n+1$ тізбегі қандай? Жауабы: Арифметикалық прогрессия, $d=3$.
4. $0{,}(12)$ жай бөлшек түрінде? Жауабы: $\frac{12}{99}=\frac4{33}$.
5. $1+2+\ldots+100$ неге тең? Жауабы: $\frac{100\cdot101}2=5050$.