Сызықтық теңсіздіктер жүйесі. Бір айнымалысы бар бөлшек-рационал теңсіздіктер жүйесі

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 2-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 60–64
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 8-сынып», 8-сынып, Атамұра, 2018, с. 147, 148, 150, 152–156
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 9-сынып», 9-сынып, Атамұра, 2019, с. 40–44
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра және анализ бастамалары» (ЖМ бағыт), 2-бөлім, 11-сынып, Атамұра, 2020, с. 62–66, 69–74

Негізгі ұғымдар

• Теңсіздіктер жүйесі (фигуралық жақша) — айнымалының мәні барлық теңсіздікті қанағаттандыруы керек: жауап — шешімдер жиындарының қиылысуы.
• Жиынтық (тік жақша) — кемінде біреуін қанағаттандыру жеткілікті: жауап — бірігуі.
• Екі айнымалылы жүйенің шешімі — жазықтықтың барлық теңсіздік орындалатын ортақ аймағы.

Теория

Жалпы алгоритм.

1. Әр теңсіздікті жеке шешу.
2. Шешімдерді бір сан осінде (әртүрлі штрихпен) кескіндеу.
3. Жүйе үшін ортақ бөлікті, жиынтық үшін біріккен бөлікті алу.
4. Жауапты сан аралықтарымен жазу; шеткі нүкте жүйеге тек екі теңсіздікті де қанағаттандырса кіреді.

Сызықтық жүйелер. Әр теңсіздік сәуле береді. Қос теңсіздік $17<4x-3<33$ — жүйе; оны үш бөлікке бірдей түрлендіріп шешуге болады: $20<4x<36$, $5екі белгі де ауысады.

Сызықтық және квадрат теңсіздік. Квадрат теңсіздік аралықтар әдісімен (немесе парабола бойынша) шешіледі — аралық немесе сәулелердің бірігуі шығады; сосын сызықтық сәулемен қиылыстырамыз.

Екі квадрат теңсіздік. Мысалы, $\begin{cases}x^2-x-6\ge0,\\ x^2-4x<0.\end{cases}$ Біріншісінің түбірлері $-2$, $3$: $(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$. Екіншісінің түбірлері $0$, $4$: $(0;4)$. Жүйе: $[3;4)$. Жиынтық болса: $(-\infty;-2]\cup(0;+\infty)$.

Бөлшек-рационал теңсіздіктер жүйесі. Әр бөлшек теңсіздікті аралықтар әдісімен шешеміз: бәрін бір жаққа көшіру → $\frac{P}{Q}\vee0$ → жіктеу → нөлдер (бөлімнің нөлдері шығарылады) → таңбалар. Сосын қиылыстырамыз.

Екі айнымалылы сызықтық емес жүйелер. Әр теңсіздікке шекаралық сызық (түзу, парабола, шеңбер) салып, сынақ нүктесі арқылы қажетті жақты таңдаймыз; қатаң теңсіздік шекарасы пунктирмен сызылады. Мысалы, $x^2-y-2x-1\le0$ және $x-y+3\ge0$ — $y=(x-1)^2-2$ параболасынан жоғары және $y=x+3$ түзуінен төмен аймақ; қиылысу абсциссалары $x^2-3x-4=0$-дан: $-1$ және $4$.

Көрсеткіштік жүйелер. Әр теңсіздікте: $a>1$ — белгі сақталады, $00$ алмастыруы мүмкін.

Логарифмдік жүйелер. Алдымен әр логарифмнің ММЖ-сы (аргумент $>0$); негізге қарай белгіні сақтаймыз не өзгертеміз; соңында барлық шешімді ММЖ-мен және бір-бірімен қиылыстырамыз.

Мысалдар

1-мысал. $\begin{cases}2x-1>3,\\ 5-x\ge0.\end{cases}$ Шешуі: $x>2$ және $x\le5$. Жауабы: $(2;5]$.

2-мысал. $3<7-4x<15$. Шешуі: $-4<-4x<8$; $-4$-ке бөлеміз, белгілер ауысады: $-2

3-мысал. $\begin{cases}2^x>4,\\ \log_3x<2.\end{cases}$ Шешуі: $x>2$; ММЖ $x>0$ және $x<9$. Қиылысу: $(2;9)$.

4-мысал. $\begin{cases}\dfrac{x-1}{x+2}\le0,\\ x^2<4.\end{cases}$ Шешуі: біріншісі $(-2;1]$; екіншісі $(-2;2)$. Жауабы: $(-2;1]$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Жүйенің шешімін бірігу деп алу (немесе жиынтықты қиылысу деп).
• Ортақ бөлік жоқ кезде «кез келген сан» деп жазу; дұрысы — шешімі жоқ.
• Қос теңсіздікті теріс санға бөлгенде белгілерді ауыстырмау — аралықтың шеттері кері қойылады.
• Қатаң және қатаң емес шекаралардың түйіскен жеріндегі нүктені қате қосу.
• Негізі $0

Өзіңді тексер

1. $\begin{cases}x>3,\\ x<1\end{cases}$ шешімі? Жауабы: $\varnothing$.
2. $\left[\begin{array}{l}x<-1,\\ x>2\end{array}\right.$ жиынтығының шешімі? Жауабы: $(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$.
3. $\begin{cases}x^2-9\le0,\\ x>0\end{cases}$ шешімі? Жауабы: $(0;3]$.
4. $\begin{cases}\left(\frac13\right)^x\ge\frac19,\\ x>-1\end{cases}$ шешімі? Жауабы: $x\le2$ және $x>-1$: $(-1;2]$.
5. $\begin{cases}\log_2(x-1)>0,\\ x<4\end{cases}$ шешімі? Жауабы: $x-1>1$, $x>2$; жауабы $(2;4)$.