Сызықтық, квадрат және рационал теңсіздіктер. Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктер

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 2-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 34–39, 52–56
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 8-сынып», 8-сынып, Атамұра, 2018, с. 144–150, 154–156
• Абылкасымова А.Е., Кучер Т.П., Корчевский В.Е., Жумагулова З.А. «Алгебра және анализ бастамалары. 10-сынып ЖМБ», 10-сынып, Мектеп, 2019, с. 123–136
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра және анализ бастамалары» (ЖМ бағыт), 1-бөлім, 11-сынып, Атамұра, 2020, с. 146–153
• Сол авторлар, 2-бөлім, 11-сынып, Атамұра, 2020, с. 62–74

Негізгі ұғымдар

• Екі жағын теріс санға көбейткенде/бөлгенде теңсіздік белгісі қарама-қарсыға ауысады.
• Қатаң теңсіздікте шеткі нүктелер кірмейді — $(\ ;\ )$, қатаң еместе кіреді — $[\ ;\ ]$.
• Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктерде негіз $a>1$ — белгі сақталады, $0өзгереді.

Теория

Сызықтық теңсіздік $ax>b$: $a>0$ болса $x>\frac ba$; $a<0$ болса $x<\frac ba$; $a=0$: $0\cdot x>b$ — $b\ge0$ болса шешім жоқ, $b<0$ болса кез келген сан. Бағалау: бірдей белгілі теңсіздіктер мүшелеп қосылады; азайту — қосуға келтіру: $10

Квадрат теңсіздік $ax^2+bx+c>0$ ($a\ne0$): түбірлерді табамыз, $a(x-x_1)(x-x_2)$ түрінде жазамыз, параболаның $Ox$ осінен жоғары/төмен бөлігін аламыз. $D<0$ болса үшмүшенің таңбасы барлық $x$ үшін $a$-ның таңбасымен бірдей: шешім — бүкіл сан осі немесе бос жиын.

Рационал теңсіздік — аралықтар әдісі.

1. ММЖ: бөлімдер $\ne0$;
2. бәрін бір жаққа көшіріп, $\frac{P(x)}{Q(x)}\vee0$ түріне келтіру;
3. алым мен бөлімді көбейткіштерге жіктеу;
4. нөлдерді сан осіне белгілеу, таңбаларды қою;
5. бөлімнің нөлдері әрқашан шығарылады; алымның нөлдері тек қатаң емес белгіде кіреді. $(x-a)^k$: $k$ тақ — $a$ арқылы өткенде таңба өзгереді, $k$ жұп — сақталады.

Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктер (бірлік шеңберде, $|a|<1$, $k\in\mathbb Z$):

Теңсіздік	Шешімі
$\sin x>a$	$(\arcsin a+2\pi k;\ \pi-\arcsin a+2\pi k)$
$\cos x>a$	$(-\arccos a+2\pi k;\ \arccos a+2\pi k)$
$\operatorname{tg}x>a$	$\left(\operatorname{arctg}a+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right)$

Иррационал теңсіздіктер. Тақ дәрежеге шығару — мәндес түрлендіру; жұп дәрежеге тек екі жағы теріс емес болғанда шығаруға болады.

• $\sqrt{f}>a$: $a\ge0$ болса $f>a^2$; $a<0$ болса $f\ge0$ (бүкіл ММЖ).
• $\sqrt{f}0$ болса $\begin{cases}f\ge0,\\ f
• $\sqrt f<\sqrt g\iff\begin{cases}f\ge0,\\ f

Көрсеткіштік теңсіздіктер. $a>1$: $a^{f}>a^{g}\iff f>g$; $0a^{g}\iff fb$ теңсіздігін $a^x>a^{\log_ab}$ түріне келтіреміз. Күрделі жағдайда $t=a^x>0$.

Логарифмдік теңсіздіктер. Алдымен ММЖ ($f>0$, $g>0$). $a>1$: $\log_af>\log_ag\iff f>g$; $0b$ теңсіздігін $\log_af>\log_aa^b$ түріне келтіреміз; жауапты ММЖ-мен қиылыстырамыз.

Мысалдар

1-мысал. $2x^2+3x-2\le0$. Шешуі: түбірлері $-2$ және $\frac12$, $a>0$ — парабола тармақтары жоғары. Жауабы: $\left[-2;\frac12\right]$.

2-мысал. $\dfrac{x-3}{x+1}\ge0$. Шешуі: нөлдер $-1$ (шығарылады), $3$ (кіреді). Таңбалар: $+,-,+$. Жауабы: $(-\infty;-1)\cup[3;+\infty)$.

3-мысал. $\log_{0{,}5}(x-1)>-1$. Шешуі: ММЖ $x>1$. $\log_{0{,}5}(x-1)>\log_{0{,}5}2\Rightarrow x-1<2$. Жауабы: $(1;3)$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Теріс санға бөлгенде белгіні ауыстырмау: $-4x<12\Rightarrow x>-3$.
• Қатаң теңсіздікте шеткі нүктені қосу немесе бөлімнің нөлін жауапқа кіргізу.
• $D<0$ кезінде $a$ таңбасына қарамай «шешім жоқ» деу.
• Негізі $0
• Логарифмдік теңсіздікте ММЖ-мен қиылыстыруды ұмыту.
• $\sqrt f>a$, $a<0$ кезінде «шешім жоқ» деу (шын мәнінде — бүкіл ММЖ).

Өзіңді тексер

1. $-3x\ge9$ шешімі? Жауабы: $x\le-3$, $(-\infty;-3]$.
2. $\left(\frac12\right)^{x}>4$ шешімі? Жауабы: $\left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^{-2}$, негіз $<1$: $x<-2$.
3. $\sqrt{x}<-2$ шешімі? Жауабы: Шешім жоқ.
4. $3^{x-1}\le9$ шешімі? Жауабы: $x-1\le2$, $x\le3$.
5. $\sin x>\frac12$ шешімі? Жауабы: $\left(\frac\pi6+2\pi k;\ \frac{5\pi}6+2\pi k\right)$, $k\in\mathbb Z$.