Тригонометриялық теңдеулер жүйелері. Иррационал теңдеулер жүйелері

Оқулықтық тірек

• Абылкасымова А.Е., Кучер Т.П., Корчевский В.Е., Жумагулова З.А. «Алгебра және анализ бастамалары. 10-сынып ЖМБ», 10-сынып, Мектеп, 2019, с. 115–122
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра және анализ бастамалары» (ЖМ бағыт), 1-бөлім, 11-сынып, Атамұра, 2020, с. 142–145
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра және анализ бастамалары» (ЖМ бағыт), 2-бөлім, 11-сынып, Атамұра, 2020, с. 49–61

Негізгі ұғымдар

• Барлық төрт түрдің ортақ стратегиясы: жаңа айнымалы енгізу немесе бір айнымалыны өрнектеп қою арқылы жүйені алгебралық (сызықтық не квадрат) жүйеге келтіру.
• Алдымен ММЖ: жұп түбір астындағы өрнек $\ge0$, логарифм астындағы өрнек $>0$; көрсеткіштік өрнек әрқашан оң.
• Соңында әр $(x;y)$ жұбын бастапқы жүйеге қойып тексеру.

Теория

Тригонометриялық жүйелер.

• Сызықтық байланысы бар жүйе $\begin{cases}x+y=\alpha,\\ \sin x+\sin y=a\end{cases}$: $y=\alpha-x$ алмастыру немесе қосындыны көбейтіндіге түрлендіру: $\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2$.
• Симметриялы жүйелерде $u=x+y$, $v=x-y$ жаңа белгісіздеріне көшу тиімді.
• Әр теңдеудің шешімінде әртүрлі бүтін параметрлер ($k$, $n$) алынады.

Иррационал жүйелер.

1. ММЖ жазу.
2. $\sqrt x=u$, $\sqrt y=v$ ($u\ge0$, $v\ge0$) белгілеу — жүйе рационал болады.
3. Рационал жүйені шешу.
4. Кері алмастыру: $x=u^2$, $y=v^2$.
5. Тексеру.

Көрсеткіштік жүйелер.

• Жаңа айнымалы $u=a^x>0$, $v=a^y>0$.
• Қою тәсілі.
• Мүшелеп көбейту немесе бөлу: $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$, $a^x:a^y=a^{x-y}$. Есте сақтаңыз: $2^{x+y}\ne2^x+2^y$.

Логарифмдік жүйелер.

• ММЖ: $x>0$, $y>0$ (логарифм астындағылар оң).
• Қосындыны көбейтіндіге келтіру: $\log_ax+\log_ay=\log_a(xy)$ — жүйеден $xy$ табылады.
• Мүшелеп қосу/азайту арқылы $\log_ax$ пен $\log_ay$-ке жеке көшу.
• Жаңа айнымалы ($u=\log_ax$, $v=\log_ay$) және тексеру.

Мысалдар

1-мысал. $\begin{cases}\sqrt x+\sqrt y=5,\\ \sqrt x-\sqrt y=1.\end{cases}$ Шешуі: $u=\sqrt x$, $v=\sqrt y$: $u+v=5$, $u-v=1\Rightarrow u=3$, $v=2$. $x=9$, $y=4$. Жауабы: $(9;4)$.

2-мысал. $\begin{cases}2^x+2^y=6,\\ 2^{x+y}=8.\end{cases}$ Шешуі: $u=2^x$, $v=2^y$: $u+v=6$, $uv=8$ (Виет) $\Rightarrow\{u,v\}=\{2,4\}$. Жауабы: $(1;2)$, $(2;1)$.

3-мысал. $\begin{cases}\lg x+\lg y=2,\\ x-y=15.\end{cases}$ Шешуі: ММЖ $x,y>0$. $xy=100$, $x=y+15$: $y^2+15y-100=0$, $y=5$ немесе $y=-20$ (ММЖ-ға кірмейді). Жауабы: $(20;5)$.

4-мысал. $\begin{cases}x+y=\pi,\\ \sin x+\sin y=1.\end{cases}$ Шешуі: $y=\pi-x$, $\sin(\pi-x)=\sin x$, сондықтан $2\sin x=1$, $x=(-1)^k\frac\pi6+\pi k$, $y=\pi-x$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Жаңа айнымалыларға $u\ge0$ (түбір) немесе $u>0$ (көрсеткіштік) шартын қоймау.
• Кері алмастыруда $x=u^2$ орнына $x=u$ жазу.
• $2^{x+y}=2^x+2^y$ немесе $\log_ax\cdot\log_ay=\log_a(xy)$ деп шатастыру.
• ММЖ-ны тексермей бөгде жұпты жауапқа қосу.
• $(x;y)$ жұбындағы мәндердің ретін ауыстыру; екінші теңдеуді тексермеу.
• Тригонометриялық жүйеде екі теңдеуге бірдей $k$ алып, шешімдерді жоғалту.

Өзіңді тексер

1. $\begin{cases}3^x\cdot3^y=27,\\ x-y=1\end{cases}$ шешіңіз. Жауабы: $x+y=3$, $x-y=1$: $(2;1)$.
2. Логарифмдік жүйенің ММЖ-сы $\log_2x$, $\log_2y$ үшін қандай? Жауабы: $x>0$, $y>0$.
3. $\sqrt x=u$ алмастыруынан кейін $u=-2$ шықса? Жауабы: Алынбайды, себебі $u\ge0$.
4. $\begin{cases}\log_2x-\log_2y=1,\\ x+y=12\end{cases}$ шешіңіз. Жауабы: $x=2y$, $3y=12$: $(8;4)$.
5. Симметриялы тригонометриялық жүйеде қандай белгісіздер енгізеді? Жауабы: $u=x+y$, $v=x-y$.