Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесі

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 2-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 189–195, 201–204
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 9-сынып», 9-сынып, Атамұра, 2019, с. 16–37

Негізгі ұғымдар

• Сызықтық теңдеу $ax+by+c=0$ ($a,b$ бір мезгілде нөл емес); $b\ne0$ болса $y=kx+n$ — графигі түзу.
• Теңдеудің дәрежесі — әр мүшедегі айнымалылар көрсеткіштерінің қосындысының ең үлкені: $xy^2+x^2-4=0$ — 3-дәрежелі.
• Жүйенің шешімі — әр теңдеуді тура теңдікке айналдыратын реттелген жұп $(x;y)$; $(2;5)\ne(5;2)$.
• Шешімдері бірдей жүйелер мәндес.

Теория

Сызықтық жүйе шешімдерінің саны.

Жағдай	Геометриясы	Белгісі
бір шешім	түзулер қиылысады	—
шешім жоқ	түзулер параллель	қосқанда $0=5$ сияқты жалған теңдік
шексіз көп	түзулер беттеседі	бір теңдеу екіншісін санға көбейткенде шығады

Алмастыру тәсілі. 1) бір теңдеуден бір айнымалыны өрнектеу (коэффициенті 1 болғаны тиімді); 2) екінші теңдеуге қою; 3) бір айнымалылы теңдеуді шешу; 4) екінші айнымалыны табу.

Қосу тәсілі. Бір айнымалының коэффициенттері қарама-қарсы болатындай теңдеулерді (екі жағын да!) көбейтіп, мүшелеп қосамыз (коэффициенттер тең болса — азайтамыз).

Сызықтық емес теңдеулердің графиктері: $y=ax^2+bx+c$ — парабола; $xy=k$ — гипербола; $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ — центрі $(a;b)$, радиусы $R$ шеңбер. $(x-3)^2+(y+1)^2=0$ жалғыз шешімі $(3;-1)$; $x^2+y^2+9=0$ шешімі жоқ.

Екінші дәрежелі жүйелерді шешу тәсілдері.

1. Алмастыру — сызықтық теңдеуден айнымалыны өрнектеп, екіншіге қою.
2. Алгебралық қосу — айнымалыны немесе мүшені жою.
3. Виет теоремасы: $x+y=p$, $xy=q$ болса $x,y$ — $z^2-pz+q=0$ түбірлері. $x-y=7$, $xy=-10$ жүйесінде $x$ пен $(-y)$ сандарын аламыз.
4. Қарапайым жүйелерге келтіру: $x^2+y^2=20$, $xy=8$ $\Rightarrow(x+y)^2=36\Rightarrow x+y=\pm6$.
5. Біртекті теңдеу: $x^2+2xy-8y^2=0$ — $y^2$-қа бөліп, $z=\frac xy$ енгізу ($y=0$ жағдайын бөлек тексеру).
6. Квадраттар айырмасы: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Жауап — барлық жұптар (төртке дейін болуы мүмкін).

Мәтінді есептер. Белгісіздерді таңдап (өлшем бірлігімен), шарттан екі теңдеу құрамыз — математикалық модель; шешіп, мағынасына сай келмейтін шешімдерді алып тастаймыз. Типтік жағдайлар: тіктөртбұрыш $xy=S$, $2(x+y)=P$; өзен бойымен қозғалыс $v+c$ және $v-c$; бірлескен жұмыс $\frac1{t_1}+\frac1{t_2}=\frac1t$.

Мысалдар

1-мысал. $\begin{cases}x-y=4,\\ 2(x+y)=36\end{cases}$ (тіктөртбұрыштың ұзындығы мен ені). Шешуі: $x+y=18$; қосамыз: $2x=22$, $x=11$, $y=7$. Жауабы: $(11;7)$.

2-мысал. $\begin{cases}x^2+y^2+2y-9=0,\\ 3x-y-1=0.\end{cases}$ Шешуі: $y=3x-1$: $x^2+9x^2-6x+1+6x-2-9=0\Rightarrow10x^2=10$, $x=\pm1$. Жауабы: $(1;2)$, $(-1;-4)$.

3-мысал. $\begin{cases}x+y=5,\\ xy=6.\end{cases}$ Шешуі: $z^2-5z+6=0$, $z=2$ немесе $3$. Жауабы: $(2;3)$, $(3;2)$.

4-мысал. $ax+4y+1=0$ теңдеуінің шешімі $(-3;5)$. $a$ табыңыз. Шешуі: $-3a+20+1=0$, $a=7$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Жұпты тек бір теңдеуге қойып тексеру; $(x;y)$ орнына $(y;x)$ жазу.
• $x-y=29$-дан $x=29-y$ деп өрнектеу (дұрысы $x=29+y$).
• Қосу тәсілінде теңдеудің тек бір жағын көбейту.
• $(x+y)^2=36$-дан тек $x+y=6$ алып, шешімдерді жоғалту.
• Бір айнымалыны тауып, екіншісін есептемеу — жауап жұп болуы керек.
• $y$-ке бөлгенде $y=0$ жағдайын тексермеу; мағынасыз (теріс ұзындық) шешімді қалдыру.

Өзіңді тексер

1. $\begin{cases}x+y=7,\\ x-y=1\end{cases}$ шешіңіз. Жауабы: $(4;3)$.
2. $\begin{cases}x+y=2,\\ 2x+2y=5\end{cases}$ неше шешімі бар? Жауабы: Шешімі жоқ (түзулер параллель).
3. $x^2+3xy-y+4=0$ дәрежесі? Жауабы: Екінші.
4. $x^2+(y-2)^2=9$ қандай қисық? Жауабы: Центрі $(0;2)$, радиусы 3 шеңбер.
5. $\begin{cases}x+y=6,\\ xy=8\end{cases}$ шешімдері? Жауабы: $(2;4)$, $(4;2)$.