Көрсеткіштік теңдеулер. Логарифмдік теңдеулер.

Оқулықтық тірек

• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра және анализ бастамалары» (ЖМ бағыт), 2-бөлім, 11-сынып, Атамұра, 2020, с. 5–8, 14–23, 44–50, 54–59

Негізгі ұғымдар

• Көрсеткіштік функция $y=a^x$, $a>0$, $a\ne1$: графигі $(0;1)$ арқылы өтеді, $Ox$ осімен қиылыспайды ($Ox$ — асимптота), $a^x>0$. $a>1$ — өседі, $0
• Логарифм: $a>0$, $a\ne1$, $b>0$ болғанда $\log_ab=c\iff a^c=b$. Негізгі тепе-теңдік: $a^{\log_ab}=b$.
• $\lg b=\log_{10}b$, $\ln b=\log_eb$, $e\approx2{,}718$.
• Нөл мен теріс санның логарифмі анықталмайды.

Теория

Логарифм қасиеттері ($a>0$, $a\ne1$, $b,c>0$):

№	Қасиет
1	$\log_a1=0$, $\log_aa=1$
2	$\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac$
3	$\log_a\frac bc=\log_ab-\log_ac$
4	$\log_ab^m=m\log_ab$
5	$\log_a\sqrt[n]{b}=\frac1n\log_ab$
6	$\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$ (жаңа негізге көшу)
7	$\log_ab=\dfrac1{\log_ba}$

Көрсеткіштік теңдеулер — айнымалы дәреже көрсеткішінде тұрған теңдеулер.

• Ең қарапайымы: $a^x=b$ ($a>0$, $a\ne1$, $b>0$) — жалғыз түбір $x=\log_ab$. $b\le0$ болса шешімі жоқ.
• Көрсеткіштік функция қатаң монотонды, сондықтан $a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)$.

Әдістер:

1. Бірдей негізге келтіру: $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$.
2. Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару (ең кіші көрсеткішті).
3. Жаңа айнымалы: $t=a^x$, міндетті түрде $t>0$.
4. $[a(x)]^{f(x)}=[a(x)]^{g(x)}$ түрі: $a(x)>0$, $a(x)\ne1$ болғанда $f(x)=g(x)$; $a(x)=1$ жағдайы бөлек тексеріледі.

Логарифмдік теңдеулер.

• Қарапайымы: $\log_ax=b\Rightarrow x=a^b$ (жалғыз түбір).
• Потенциалдау: $\log_af(x)=\log_ag(x)\iff\begin{cases}f(x)=g(x),\\ f(x)>0,\ g(x)>0.\end{cases}$
• Жаңа айнымалы: $y=\log_ax$.
• Логарифмдеу: екі жағын бір негіз бойынша логарифмдеу (айнымалы әрі негізде, әрі көрсеткіште болса).
• Логарифмдер қосындысын көбейтіндінің логарифміне біріктіргенде ММЖ кеңеюі мүмкін, сондықтан табылған түбірлерді ММЖ бойынша тексеру міндетті.

Мысалдар

1-мысал. $4^{x}=8^{x-1}$. Шешуі: $2^{2x}=2^{3x-3}\Rightarrow2x=3x-3$, $x=3$.

2-мысал. $9^x-4\cdot3^x+3=0$. Шешуі: $t=3^x>0$: $t^2-4t+3=0$, $t=1$ немесе $t=3$. $3^x=1\Rightarrow x=0$; $3^x=3\Rightarrow x=1$.

3-мысал. $2^{x+2}-2^x=12$. Шешуі: $2^x(4-1)=12\Rightarrow2^x=4$, $x=2$.

4-мысал. $\log_2x+\log_2(x-2)=3$. Шешуі: ММЖ: $x>2$. $\log_2(x(x-2))=3\Rightarrow x^2-2x-8=0$, $x=4$ немесе $x=-2$. $-2$ ММЖ-ға кірмейді. Жауабы: $x=4$.

5-мысал. $\lg^2x-\lg x-2=0$. Шешуі: $y=\lg x$: $y=2$ немесе $y=-1$; $x=100$ немесе $x=0{,}1$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Негіздерді бірдей етпей тұрып көрсеткіштерді теңестіру.
• $t=a^x$ кезінде $t>0$ шартын ескермей, теріс $t$-ны қалдыру.
• $[a(x)]^{f(x)}$ түрінде $a(x)=1$ жағдайын жоғалту.
• Логарифмдік теңдеуде ММЖ тексермеу — бөгде түбір.
• $\log_a(b+c)=\log_ab+\log_ac$ немесе $\log_ab\cdot\log_ac=\log_a(bc)$ деп жазу.
• Негіз бен аргументті шатастыру; жаңа негізге көшкенде алым мен бөлімді ауыстыру.

Өзіңді тексер

1. $\log_381$ неге тең? Жауабы: $4$.
2. $5^{\log_57}$ неге тең? Жауабы: $7$.
3. $2^x=-4$ шешімі бар ма? Жауабы: Жоқ, $2^x>0$.
4. $\log_5(2x-1)=\log_5(x+3)$ шешіңіз. Жауабы: $x=4$ (ММЖ: $x>\frac12$ орындалады).
5. $\log_2 5\cdot\log_5 8$ мәні? Жауабы: жаңа негізге көшу бойынша $\log_28=3$.