Сызықтық теңдеулер. Квадрат теңдеулер. Бөлшек-рационал теңдеулер.

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 2-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 8–11, 13, 17
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 8-сынып», 8-сынып, Атамұра, 2018, с. 56–59, 63–67, 70–74, 83–85, 87, 90

Негізгі ұғымдар

• Сызықтық теңдеу: $ax+b=0$. Түбір — теңдеуді тура теңдікке айналдыратын мән.
• Мәндес теңдеулер — түбірлері бірдей (немесе екеуінің де түбірі жоқ) теңдеулер.
• Квадрат теңдеу: $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$; $a$ — бірінші коэффициент, $b$ — екінші, $c$ — бос мүше. $a=1$ болса — келтірілген: $x^2+px+q=0$.
• Дискриминант: $D=b^2-4ac$.
• Бөлшек-рационал теңдеу — бөлімінде айнымалы бар теңдеу; міндетті түрде ММЖ тексеріледі.

Теория

Мәндес түрлендірулер. 1) екі жағына бірдей сан (өрнек) қосу/азайту — қосылғышты таңбасын өзгертіп басқа жаққа көшіру; 2) екі жағын нөлден өзге санға көбейту/бөлу. Нөлге көбейту мәндестікті бұзады.

Сызықтық теңдеуді шешу: жақшаны ашу (бөлшек болса ортақ бөлімге көбейту) → айнымалысы бар мүшелерді бір жаққа → ұқсас мүшелерді біріктіру → $ax=b$.

Жағдай	Нәтиже
$a\ne0$	бір түбір $x=\frac ba$
$a=0$, $b\ne0$	түбір жоқ
$a=0$, $b=0$	кез келген сан түбір

Мысалы, $7x+3=7x+5\Rightarrow0\cdot x=2$ — түбір жоқ.

Квадрат теңдеу.

• $D>0$: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$; $D=0$: $x=-\dfrac b{2a}$; $D<0$: нақты түбір жоқ.
• $b=2k$ жұп болса: $x_{1,2}=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}$.
• $D$ толық квадрат болса түбірлер рационал.

Виет теоремасы. $x^2+px+q=0$ үшін $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$; жалпы жағдайда $x_1+x_2=-\frac ba$, $x_1x_2=\frac ca$. Кері теорема: $u+v=-p$, $uv=q$ болса, $u,v$ — түбірлер. Түбірлері бойынша теңдеу: $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$. Дербес жағдайлар: $a+b+c=0$ болса $x_1=1$, $x_2=\frac ca$; $a-b+c=0$ болса $x_1=-1$, $x_2=-\frac ca$.

Квадрат теңдеуге келтірілетін теңдеулер.

• Биквадрат $ax^4+bx^2+c=0$: $z=x^2\ge0$ алмастыру; әр $z>0$ үшін $x=\pm\sqrt z$, теріс $z$ алынбайды.
• Жаңа айнымалы: қайталанатын өрнекті әріппен белгілеу, мысалы $y=x^2+x+1$; $x(x+1)(x+2)(x+3)$ кезінде $x(x+3)$ және $(x+1)(x+2)$ жұптап топтау ($y=x^2+3x$).

Бөлшек-рационал теңдеу алгоритмі:

1. ММЖ: бөлімдерді нөлге айналдыратын $x$-терді шығарып тастау;
2. екі жағын ортақ бөлімге көбейтіп, бүтін теңдеу алу;
3. бүтін теңдеуді шешу;
4. ММЖ-ға кірмейтін (бөгде) түбірлерді алып тастау.

Мысалдар

1-мысал. $4x^2-5x-21=0$. Шешуі: $D=25+336=361=19^2$; $x=\dfrac{5\pm19}{8}$: $x_1=3$, $x_2=-\frac74$.

2-мысал. $x^4-25x^2+144=0$. Шешуі: $y=x^2$: $y^2-25y+144=0$, $y=9$ немесе $y=16$. Жауабы: $x=\pm3$, $x=\pm4$.

3-мысал. $\dfrac{x^2}{x-5}=\dfrac{3x+10}{x-5}$. Шешуі: ММЖ: $x\ne5$. $x^2-3x-10=0$, $x=-2$ немесе $x=5$. $5$ ММЖ-ға кірмейді. Жауабы: $x=-2$.

4-мысал. $2023x^2-2020x-3=0$ түбірлерін табыңыз. Шешуі: $a+b+c=2023-2020-3=0$, сондықтан $x_1=1$, $x_2=\frac ca=-\frac3{2023}$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Қосылғышты көшіргенде таңбасын өзгертпеу; «−» алдындағы жақшаны ашқанда таңбаларды ауыстырмау.
• $0\cdot x=0$ жағдайында «түбір жоқ» деу: дұрысы — кез келген сан.
• $b<0$ болғанда $-b$ таңбасын қате алу; $c<0$ болғанда $-4ac$ оң болатынын ұмыту.
• Виет бойынша $x_1+x_2=p$ деп жазу; келтірілмеген теңдеуге $a$-ға бөлмей қолдану; $D<0$ кезінде Виетті қолдану.
• Биквадрат теңдеуде теріс $z=x^2$ мәнін қалдыру немесе $\pm$ екінші түбірді ұмыту.
• Бөлшек теңдеуде ММЖ тексермеу — бөгде түбірді жауапқа жазу.

Өзіңді тексер

1. $3(x+1)=x-1$ шешіңіз. Жауабы: $2x=-4$, $x=-2$.
2. $9x^2-12x+4=0$ неше түбірі бар? Жауабы: $D=0$, бір түбір $x=\frac23$.
3. $x^2-9x+14=0$ түбірлері (Виет)? Жауабы: $2$ және $7$.
4. $x^4+3x^2-4=0$ нақты түбірлері? Жауабы: $z=1$ немесе $z=-4$ (алынбайды); $x=\pm1$.
5. $\dfrac{x-1}{x-1}=1$ теңдеуінің шешімі? Жауабы: ММЖ $x\ne1$ болатын кез келген сан.