Алгебралық өрнектер және түрлендірулер. Формулалар. Қысқаша көбейту формулалары

Оқулықтық тірек

• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Бектасова А.И. «Алгебра. 7-сынып», 7-сынып, Атамұра, 2025, с. 23, 64, 65, 68, 69, 71, 138–140, 144, 145, 149, 150, 153–155, 171, 172, 174, 175, 186, 187, 189
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 8-сынып», 8-сынып, Атамұра, 2018, с. 78–81

Негізгі ұғымдар

• Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу — оны бірнеше көпмүшенің көбейтіндісі түрінде жазу. Тәсілдер: ортақ көбейткіш, топтау, қысқаша көбейту формулалары, квадрат үшмүшені жіктеу.
• Формулалардағы $a$ мен $b$ — кез келген өрнек (сан, бірмүше, көпмүше).
• Бөлшектің негізгі қасиеті: $\dfrac ab=\dfrac{ac}{bc}$ ($b\ne0$, $c\ne0$). Тек көбейткіштерді қысқартуға болады.
• $\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$.

Теория

Қысқаша көбейту формулалары.

№	Формула	Атауы
1	$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$	қосындының / айырманың квадраты
2	$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$	квадраттар айырмасы
3	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$	кубтар қосындысы
4	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$	кубтар айырмасы
5	$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$	қосындының / айырманың кубы

3–4 формулалардағы екінші жақша — толымсыз квадрат: ортаңғы мүшесі $ab$, ал $2ab$ емес. Барлық формулалар жақшаны ашу (көпмүшені көпмүшеге көбейту) арқылы дәлелденеді.

Ортақ көбейткішті шығару. Коэффициенттердің ЕҮОБ-ы және әр айнымалының ең кіші көрсеткіші алынады: $9x^2y-21y^2=3y(3x^2-7y)$. Жақшаны ашып тексереміз. Таңбаны ауыстыру: $7-2b=-(2b-7)$.

Топтау тәсілі. $ac-bc+ad-bd=c(a-b)+d(a-b)=(a-b)(c+d)$. Нәтиже топтау тәсіліне тәуелді емес.

Квадрат үшмүшені жіктеу. $x_1,x_2$ — $ax^2+bx+c$ түбірлері болса: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$ $D=0$ болса $a(x-x_1)^2$; $D<0$ болса нақты көбейткіштерге жіктелмейді. $a$ көбейткішін жақшаға енгізуге болады: $2(x+1{,}5)(x-2)=(2x+3)(x-2)$.

Алгебралық бөлшектер.

• Қысқарту: алым мен бөлімді жіктеп, ортақ көбейткішке бөлеміз; $a-b=-(b-a)$ таңба ауыстыру көмектеседі.
• Көбейту: $\dfrac ab\cdot\dfrac mn=\dfrac{am}{bn}$; бөлу: $\dfrac ab:\dfrac mn=\dfrac ab\cdot\dfrac nm$.
• Дәрежеге шығару: алымы мен бөліміндегі әр көбейткіш дәрежеге шығады.
• Қысқартудан кейін бастапқы өрнектің ММЖ-сы сақталады.

Ықшамдау алгоритмі. 1) бөлуді көбейтуге ауыстыру; 2) барлық алым мен бөлімді жіктеу; 3) қосу/азайтуда ортақ бөлімге келтіру; 4) ортақ көбейткіштерді қысқарту; 5) ММЖ-ны ескеру.

Мысалдар

1-мысал. $(2a-7b)^2$ ашыңыз. Шешуі: $(2a)^2-2\cdot2a\cdot7b+(7b)^2=4a^2-28ab+49b^2$.

2-мысал. $x^3-8$ жіктеңіз. Шешуі: $x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$.

3-мысал. $\dfrac{2x^2-5x+3}{x^2-1}$ бөлшегін қысқартыңыз. Шешуі: $2x^2-5x+3=0$ түбірлері $x_1=1$, $x_2=1{,}5$, сондықтан $2x^2-5x+3=2(x-1)(x-1{,}5)=(x-1)(2x-3)$. Бөлім $(x-1)(x+1)$. Нәтиже: $\dfrac{2x-3}{x+1}$, $x\ne\pm1$.

4-мысал. $\dfrac{a^2-4}{a+3}:\dfrac{a-2}{a^2+6a+9}$ ықшамдаңыз. Шешуі: $\dfrac{(a-2)(a+2)}{a+3}\cdot\dfrac{(a+3)^2}{a-2}=(a+2)(a+3)$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• $(a+b)^2=a^2+b^2$ деп жазу (екі еселенген көбейтіндіні жоғалту).
• $(2a-7b)^2$ кезінде ортаңғы мүшені $14ab$ деп алу: дұрысы $28ab$.
• $a^3+b^3=(a+b)^3$ деп жазу; толымсыз квадратта $2ab$ жазу.
• Квадрат үшмүшені жіктегенде бас коэффициент $a$-ны ұмыту.
• $(x-x_1)$ жақшасындағы таңбаны шатастыру: $x_1=-11$ болса $(x+11)$.
• Қосындының мүшелерін қысқарту: $\dfrac{a+3}{b+3}\ne\dfrac ab$.
• Бөлшекке бөлгенде екінші бөлшекті төңкермеу.

Өзіңді тексер

1. $49-x^2$ жіктеңіз. Жауабы: $(7-x)(7+x)$.
2. $(a+1)^3$ ашыңыз. Жауабы: $a^3+3a^2+3a+1$.
3. $x^2-5x+6$ жіктеңіз. Жауабы: $(x-2)(x-3)$.
4. $\left(\dfrac{2a}{3b^2}\right)^3$ неге тең? Жауабы: $\dfrac{8a^3}{27b^6}$.
5. $ab+3a+2b+6$ топтау арқылы жіктеңіз. Жауабы: $a(b+3)+2(b+3)=(b+3)(a+2)$.