Түбірлерге амалдар қолдану. Санды және әріпті өрнектер. Бүтін және бөлшек өрнектер.

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 5-сынып», 1-бөлім, 5-сынып, Атамұра, 2017, с. 42–44, 49
• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 1-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 173–176, 179, 180
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Бектасова А.И. «Алгебра. 7-сынып», 7-сынып, Атамұра, 2025, с. 170, 172, 173, 192–194
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 8-сынып», 8-сынып, Атамұра, 2018, с. 16–20, 38–47
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра және анализ бастамалары» (ЖМ бағыт), 1-бөлім, 11-сынып, Атамұра, 2020, с. 104–106, 116–121

Негізгі ұғымдар

• Сандық өрнек тек сандардан, амал таңбалары мен жақшалардан тұрады; әріпті (алгебралық) өрнекте әріп — айнымалы бар.
• Бүтін өрнек — айнымалыға бөлу жоқ өрнек; бөлшек өрнек — бөлімінде айнымалы бар өрнек. Бөлшек өрнектің мүмкін мәндер жиыны (ММЖ): бөлім $\ne 0$.
• Арифметикалық квадрат түбір: $a\ge 0$ болғанда $\sqrt a$ — квадраты $a$-ға тең теріс емес сан.
• $n$-дәрежелі түбір: $b^n=a$ болса, $b=\sqrt[n]{a}$. Тақ $n$ — кез келген $a$ үшін жалғыз түбір; жұп $n$ — тек $a\ge 0$ үшін.

Теория

Әріпті өрнектер. $8x$ көбейтіндісіндегі $8$ — коэффициент; ол әріптің алдына жазылады, коэффициент 1 болса жазылмайды. Мәнді есептегенде амалдар ретін сақтаймыз: $b=7$ болғанда $b+12\cdot4=7+48=55$.

Квадрат түбір. Оң санның екі квадрат түбірі бар, нөлдің — біреу, теріс санның нақты түбірі жоқ. $x^2=a$ ($a>0$) теңдеуінің түбірлері: $x=\pm\sqrt a$.

Квадрат түбір қасиеттері ($a\ge0$, $b\ge0$): $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\qquad \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\ (b>0),\qquad (\sqrt a)^2=a,\qquad \sqrt{a^2}=|a|.$

Көбейткішті шығару және енгізу. $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b$: $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt3$. Енгізу: $a\ge0$ болса $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$, $3\sqrt2=\sqrt{18}$; теріс көбейткіштің минусы түбір сыртында қалады: $-3\sqrt2=-\sqrt{18}$. Салыстыру: $\sqrt{288}=12\sqrt2<13\sqrt2$.

Бөлімдегі иррационалдықтан құтылу. Алым мен бөлімді бірдей өрнекке көбейтеміз:

• бөлім $\sqrt a$: $\dfrac{c}{\sqrt a}=\dfrac{c\sqrt a}{a}$;
• бөлім $\sqrt a\pm\sqrt b$: түйіндес өрнекке көбейтеміз, $(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b$;

$n$-дәрежелі түбір қасиеттері (түбір астындағылар теріс емес): $(\sqrt[n]{a})^n=a$; $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$; $(\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k}$; $\sqrt[n]{a/b}=\sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}$; $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$; $\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$ (6°). 6°-пен әртүрлі көрсеткішті түбірлер ортақ көрсеткішке келтіріледі.

Бөлшек өрнектерді түрлендіру тәртібі. ММЖ бастапқы өрнектен; бөлімдерді жіктеу; амалдар реті (жақша → дәреже → көбейту/бөлу → қосу/азайту); ортақ бөлім; қысқарту.

Мысалдар

1-мысал. $\dfrac{6}{3-\sqrt3}$ бөлшегінің бөлімін иррационалдықтан арылтыңыз. Шешуі: түйіндесі $3+\sqrt3$. $\dfrac{6(3+\sqrt3)}{(3-\sqrt3)(3+\sqrt3)}=\dfrac{6(3+\sqrt3)}{9-3}=3+\sqrt3$.

2-мысал. $\sqrt{9-6\sqrt2}$ өрнегін ықшамдаңыз. Шешуі: күрделі түбірді толық квадратқа келтіреміз, $(\sqrt a-\sqrt b)^2=a+b-2\sqrt{ab}$ түрінде іздейміз: $a+b=9$, $ab=18$, яғни $a=6$, $b=3$. Тексеру: $(\sqrt6-\sqrt3)^2=6-2\sqrt{18}+3=9-6\sqrt2$. Демек $\sqrt{9-6\sqrt2}=\sqrt6-\sqrt3$ (оң сан, себебі $\sqrt6>\sqrt3$).

3-мысал. $\dfrac{x+2}{x^2-9}$ өрнегінің ММЖ-сын табыңыз. Шешуі: $x^2-9=(x-3)(x+3)\ne0$, яғни $x\ne3$ және $x\ne-3$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• $\sqrt{25}=\pm5$ деп жазу: арифметикалық түбір теріс емес, $\sqrt{25}=5$.
• $\sqrt{x^2}=x$ деп жазу: дұрысы $|x|$; $x<0$ болса нәтиже $-x$.
• $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$ деп «ашу»: $\sqrt{9+16}=5\ne7$.
• Теріс көбейткішті түбір астына енгізгенде таңбаны жоғалту: $-3\sqrt2\ne\sqrt{18}$.
• ММЖ-ны бөлшекті қысқартқаннан кейін анықтау: шектеу бастапқы өрнектен алынады.

Өзіңді тексер

1. $\sqrt{72}$ өрнегінен көбейткішті шығарыңыз. Жауабы: $\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$.
2. $\sqrt[7]{-128}$ неге тең? Жауабы: $-2$, себебі $(-2)^7=-128$.
3. $\dfrac{1}{\sqrt5-2}$ бөлімін иррационалдықтан арылтыңыз. Жауабы: $\dfrac{\sqrt5+2}{5-4}=\sqrt5+2$.
4. $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt{2}$ көбейтіндісін бір түбірмен жазыңыз. Жауабы: $\sqrt[6]{2^2}\cdot\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{32}$.
5. $a=-4$ болғанда $\sqrt{a^2}$ неге тең? Жауабы: $|a|=4$.