Тригонометрия.

Оқулықтық тірек

• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 9-сынып», 9-сынып, Атамұра, 2019, с. 112–125, 137–147, 150–156, 161–169
• Абылкасымова А.Е., Кучер Т.П., Корчевский В.Е., Жумагулова З.А. «Алгебра және анализ бастамалары. 10-сынып ЖМБ», 10-сынып, Мектеп, 2019, с. 53–60

Негізгі ұғымдар

• 1 радиан — доғасының ұзындығы радиусқа тең центрлік бұрыш; толық айналым $2\pi$ рад. $1\text{ рад}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57^\circ$, $1^\circ=\frac{\pi}{180}$ рад. Доға ұзындығы $l=\alpha R$.
• Бірлік шеңберде $B(x;y)$ нүктесі үшін: $\cos\alpha=x$ (абсцисса), $\sin\alpha=y$ (ордината), $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
• $|\sin x|\le1$, $|\cos x|\le1$; $\operatorname{tg}$ анықталмайды: $\alpha=\frac\pi2+\pi n$; $\operatorname{ctg}$ анықталмайды: $\alpha=\pi n$.
• Сағат тіліне қарсы бұру — оң бағыт, бойымен — теріс.

Теория

Негізгі тепе-теңдіктер. $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\quad \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1,\quad 1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha},\quad 1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}.$

Мәндер кестесі.

$\alpha$	$0$	$\frac\pi6$	$\frac\pi4$	$\frac\pi3$	$\frac\pi2$
$\sin$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}2$	$\frac{\sqrt3}2$	$1$
$\cos$	$1$	$\frac{\sqrt3}2$	$\frac{\sqrt2}2$	$\frac12$	$0$
$\operatorname{tg}$	$0$	$\frac{\sqrt3}3$	$1$	$\sqrt3$	—

Келтіру формулалары ($\frac\pi2\pm\alpha$, $\pi\pm\alpha$, $\frac{3\pi}2\pm\alpha$, $2\pi\pm\alpha$). $\alpha$ сүйір деп есептейміз:

1. Таңба — бүкіл аргумент жатқан ширектегі бастапқы функцияның таңбасы.
2. Атау — $\frac\pi2$, $\frac{3\pi}2$ (тақ сан $\frac\pi2$) болса $\sin\leftrightarrow\cos$, $\operatorname{tg}\leftrightarrow\operatorname{ctg}$; $\pi$, $2\pi$ болса атау өзгермейді. Мысалы, $\sin\left(\frac{7\pi}2+\alpha\right)=-\cos\alpha$. Үлкен бұрыштардан алдымен толық периодтарды алып тастаймыз ($\sin,\cos$ үшін $2\pi$; $\operatorname{tg},\operatorname{ctg}$ үшін $\pi$).

Қосу формулалары. $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta,$ $\operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta}{1\mp\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}.$

Қос бұрыш және дәрежені төмендету. $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1,\quad \operatorname{tg}2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha},$ $\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}2,\qquad \cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}2,\qquad \operatorname{tg}\frac\alpha2=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}.$

Қосындыны көбейтіндіге түрлендіру. $\sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\frac{\alpha\pm\beta}2\cos\frac{\alpha\mp\beta}2,\quad \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2,\quad \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2.$ Кері бағыт: $\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$, $\cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$.

Кері тригонометриялық функциялар.

Функция	Анықталу облысы	Мәндері	Тақ/жұп
$\arcsin a$	$\lvert a\rvert\le1$	$\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right]$	$\arcsin(-a)=-\arcsin a$
$\arccos a$	$\lvert a\rvert\le1$	$[0;\pi]$	$\arccos(-a)=\pi-\arccos a$
$\operatorname{arctg} a$	$\mathbb R$	$\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)$	$\operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg} a$
$\operatorname{arcctg} a$	$\mathbb R$	$(0;\pi)$	$\operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg} a$

$\arcsin a+\arccos a=\frac\pi2$, $\operatorname{arctg}a+\operatorname{arcctg}a=\frac\pi2$.

Түрлендіру тәсілдері: бір аргументтің $\sin$ пен $\cos$-іне келтіру; ортақ көбейткішті шығарып $\sin^2+\cos^2=1$ қолдану; $\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$; $\operatorname{tg}\alpha$ берілсе біртекті бөлшектің алымы мен бөлімін $\cos\alpha$-ға бөлу.

Мысалдар

1-мысал. $\sin75^\circ$ есептеңіз. Шешуі: $\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$.

2-мысал. $\sin\alpha=\frac35$, $\frac\pi2<\alpha<\pi$. $\sin2\alpha$ табыңыз. Шешуі: II ширекте $\cos\alpha<0$: $\cos\alpha=-\sqrt{1-\frac9{25}}=-\frac45$. $\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right)=-\frac{24}{25}$.

3-мысал. $\operatorname{tg}\alpha=2$. $\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$ мәнін табыңыз. Шешуі: алымы мен бөлімін $\cos\alpha$-ға бөлеміз: $\dfrac{2+1}{2-1}=3$.

4-мысал. $\arccos\left(-\frac12\right)+\arcsin\left(-\frac12\right)$. Шешуі: $\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}3$ және $-\frac\pi6$; қосындысы $\frac\pi2$ (жалпы формула $\arcsin a+\arccos a=\frac\pi2$ бойынша да).

ҰБТ-дағы жиі қателер

• $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta$ деп жазу.
• Ширекті ескермей $\cos\alpha$ таңбасын қате алу.
• $\frac{\pi}2$, $\frac{3\pi}2$ кезінде функция атауын өзгертпеу, ал $\pi$ кезінде өзгерту.
• $\cos\alpha-\cos\beta$ формуласындағы минусты жоғалту.
• $\arccos(-a)=-\arccos a$ деп жазу: дұрысы $\pi-\arccos a$.

Өзіңді тексер

1. $150^\circ$ радианмен қанша? Жауабы: $\frac{5\pi}6$.
2. $\cos(\pi+\alpha)$ неге тең? Жауабы: $-\cos\alpha$ (III ширек, атау өзгермейді).
3. $\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ$ мәні? Жауабы: $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}2$.
4. $\arcsin2$ анықталған ба? Жауабы: Жоқ, себебі $|a|\le1$ болуы керек.
5. $\sin^2\alpha$ өрнегін қос бұрыш арқылы жазыңыз. Жауабы: $\frac{1-\cos2\alpha}2$.