Дәрежелерге амалдар қолдану.

Оқулықтық тірек

• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Бектасова А.И. «Алгебра. 7-сынып», 7-сынып, Атамұра, 2025, с. 10, 11, 16, 17, 22, 23, 25, 27–30, 34, 35, 45, 119
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра және анализ бастамалары» (ЖМ бағыт), 1-бөлім, 11-сынып, Атамұра, 2020, с. 109–115

Негізгі ұғымдар

• $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n}$: $a$ — негізі, $n$ — көрсеткіші; $a^1=a$.
• $a\ne0$ болғанда $a^0=1$; $0^0$ мағынасыз.
• $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ ($a\ne0$): теріс көрсеткіш — кері сан, теріс сан емес.
• $a>0$ болғанда $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$ ($m$ — бүтін, $n$ — натурал).
• Стандарт түр: $a\cdot10^n$, мұндағы $1\le a<10$, $n$ — бүтін сан (рет).

Теория

Таңба ережесі. Оң санның кез келген дәрежесі оң. Теріс санның жұп дәрежесі оң, тақ дәрежесі теріс: $n$ жұп болса $(-a)^n=a^n$, тақ болса $(-a)^n=-a^n$. Сондықтан $(-3)^4=81$, ал $-3^4=-81$.

Дәреже қасиеттері. Натурал көрсеткіш үшін көбейткіштерді санау арқылы дәлелденеді (мысалы, $a^3\cdot a^5=a^8$), кейін бүтін көрсеткішке ($a,b\ne0$), ал $a>0$, $b>0$ болғанда кез келген рационал $p,q$ үшін де орындалады:

№	Қасиет	Ереже
1	$a^p\cdot a^q=a^{p+q}$	көбейткенде көрсеткіштер қосылады
2	$a^p:a^q=a^{p-q}$	бөлгенде азайтылады
3	$(a^p)^q=a^{pq}$	дәреженің дәрежесінде көбейтіледі
4	$(ab)^p=a^pb^p$	көбейтіндінің әр көбейткіші дәрежеге шығады
5	$\left(\frac ab\right)^p=\frac{a^p}{b^p}$	бөлшектің алымы мен бөлімі дәрежеге шығады

Қасиеттер тек негіздері бірдей (1–3) немесе көрсеткіштері бірдей (4–5) дәрежелерге қолданылады: $2^3\cdot3^2\ne6^5$.

Нөлдік және теріс көрсеткіш. $a^n:a^n=a^0$ және $a^n:a^n=1$, сондықтан $a^0=1$. 10-ның дәрежелер қатарын жалғастырсақ: $10^{-1}=\frac1{10}$, $10^{-2}=\frac1{100}$. Негізі нөл теріс көрсеткішті дәреженің мағынасы жоқ.

Рационал көрсеткіш. $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$, $a^{\frac1n}=\sqrt[n]{a}$; $r>0$ болса $0^r=0$. $(-8)^{\frac13}$ сияқты теріс негізді өрнектер анықтамаға кірмейді.

Өрнекті ықшамдау алгоритмі. 1) жақша ішіндегі көбейтінділерді біріктіру; 2) жақшаны дәрежеге шығару — коэффициентті де: $(3ax)^3=27a^3x^3$; 3) бірдей негіздерді біріктіру; 4) қажет болса теріс көрсеткіштен құтылу. Бөлімде қалған айнымалы нөлге тең болмауы керек.

Рационал көрсеткішті өрнектер. Тәсілдер:

• ортақ бөлімге келтіру: $x^{\frac12}\cdot x^{\frac13}=x^{\frac56}$;
• ең кіші көрсеткішті жақша сыртына шығару: $x^{\frac32}-x^{\frac12}=x^{\frac12}(x-1)$;
• қысқаша көбейту формулалары: $a-b=(a^{\frac12}-b^{\frac12})(a^{\frac12}+b^{\frac12})$;
• алдымен анықталу облысын жазу (мысалы, $x>0$).

Стандарт түр. Үтірді бірінші нөлден өзге цифрдан кейін қоямыз; неше орынға жылжыса, $|n|$ сонша. Сан 10-нан үлкен болса $n>0$, 1-ден кіші болса $n<0$: $150\cdot10^6=1{,}5\cdot10^8$; $0{,}00003=3\cdot10^{-5}$.

Мысалдар

1-мысал. $\dfrac{2^{-3}\cdot 4^2}{8^{-1}}$ мәнін табыңыз. Шешуі: бәрін 2-нің дәрежесіне келтіреміз: $\dfrac{2^{-3}\cdot2^{4}}{2^{-3}}=2^{-3+4+3}=2^4=16$.

2-мысал. $27^{\frac23}+16^{-\frac34}$ есептеңіз. Шешуі: $27^{\frac23}=(\sqrt[3]{27})^2=9$; $16^{-\frac34}=\dfrac1{(\sqrt[4]{16})^3}=\dfrac18$. Жауабы: $9\frac18$.

3-мысал. $\dfrac{x-25}{x^{\frac12}+5}$ бөлшегін қысқартыңыз ($x\ge0$). Шешуі: $x-25=(x^{\frac12}-5)(x^{\frac12}+5)$, сондықтан нәтиже $x^{\frac12}-5=\sqrt x-5$.

4-мысал. $(2\cdot10^{3})\cdot(4{,}5\cdot10^{-7})$ көбейтіндісін стандарт түрде жазыңыз. Шешуі: $9\cdot10^{-4}$ (мәнді бөлік $1\le9<10$).

ҰБТ-дағы жиі қателер

• $(-3)^4$ пен $-3^4$ теңестіру.
• $a^{-n}=-a^n$ деп жазу; дұрысы $\dfrac1{a^n}$, ал $2^{-3}=\frac18>0$.
• $a^0=0$ деп алу: нөлден өзге санның нөлдік дәрежесі 1.
• $(x^4)^5$ кезінде көрсеткіштерді қосу: дұрысы $x^{20}$; бөлуде көрсеткішті қосу: $x^{12}:x^6=x^6$.
• Коэффициентті дәрежеге шығаруды ұмыту: $(3ax)^3\ne3a^3x^3$.
• $a^{\frac mn}$ жазбасын $\sqrt[m]{a^n}$ деп оқу.
• Стандарт түрде мәнді бөлікті 10-нан үлкен қалдыру ($0{,}27\cdot10^{20}$ стандарт түр емес).

Өзіңді тексер

1. $5^{-2}$ неге тең? Жауабы: $\frac1{25}$.
2. $a^{\frac34}\cdot a^{\frac14}$ ықшамдаңыз. Жауабы: $a^1=a$.
3. $(-2)^5$ таңбасы қандай? Жауабы: Теріс, $-32$ (тақ дәреже).
4. $\left(\dfrac{2x^2}{y}\right)^3$ ашыңыз. Жауабы: $\dfrac{8x^6}{y^3}$.
5. $1\,392\,000\,000$ санын стандарт түрде жазыңыз. Жауабы: $1{,}392\cdot10^9$.