Тригонометриялық теңдеулер. Иррационал теңдеулер.

Оқулықтық тірек

• Абылкасымова А.Е., Кучер Т.П., Корчевский В.Е., Жумагулова З.А. «Алгебра және анализ бастамалары. 10-сынып ЖМБ», 10-сынып, Мектеп, 2019, с. 65–84, 91–96, 103–108
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра және анализ бастамалары» (ЖМ бағыт), 1-бөлім, 11-сынып, Атамұра, 2020, с. 134–146

Негізгі ұғымдар

• $\sin x=a$ және $\cos x=a$ теңдеулерінің шешімі тек $|a|\le1$ болғанда бар; $\operatorname{tg}x=a$, $\operatorname{ctg}x=a$ — кез келген $a$ үшін.
• Иррационал теңдеу — айнымалысы түбір таңбасының астында тұрған теңдеу ($x^2-\sqrt3x+\sqrt7=0$ иррационал емес).
• Жұп түбірлі теңдеудің ММЖ-сы: әр жұп түбір астындағы өрнек $\ge0$ (шарттардың қиылысуы).
• Жұп дәрежеге шығару бөгде түбірлер береді — тексеру міндетті.

Теория

Қарапайым тригонометриялық теңдеулер ($k\in\mathbb Z$):

Теңдеу	Жалпы шешім
$\sin x=a$, $\lvert a\rvert\le1$	$x=(-1)^k\arcsin a+\pi k$
$\cos x=a$, $\lvert a\rvert\le1$	$x=\pm\arccos a+2\pi k$
$\operatorname{tg}x=a$	$x=\operatorname{arctg}a+\pi k$
$\operatorname{ctg}x=a$	$x=\operatorname{arcctg}a+\pi k$

Дербес жағдайлар: $\sin x=1\Rightarrow x=\frac\pi2+2\pi k$; $\cos x=0\Rightarrow x=\frac\pi2+\pi k$; $\operatorname{tg}x=1\Rightarrow x=\frac\pi4+\pi k$.

Шешу әдістері.

1. Көбейткіштерге жіктеу: ортақ көбейткішті шығару, топтау, қосындыны көбейтіндіге түрлендіру; әр көбейткішті нөлге теңестіру.
2. Квадрат теңдеуге келтіру: $t=\sin x$ немесе $t=\cos x$ ($|t|\le1$), $t=\operatorname{tg}x$ ($t\in\mathbb R$). Әртүрлі функциялар болса $\cos^2x=1-\sin^2x$ арқылы бір функцияға келтіреміз.
3. Біртекті теңдеулер: $a\sin x+b\cos x=0$ — $\cos x\ne0$-ге бөліп $\operatorname{tg}x=-\frac ba$; $a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$ — $\cos^2x$-қа бөліп $a\operatorname{tg}^2x+b\operatorname{tg}x+c=0$.
4. Қосымша аргумент: $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$, мұндағы $\cos\varphi=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin\varphi=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}$. $a\sin x+b\cos x=c$ теңдеуінің шешімі бар $\iff c^2\le a^2+b^2$.

Иррационал теңдеулер.

• ММЖ. Мысалы, $\sqrt{6-x}-\sqrt{x-7}=5$: $x\le6$ және $x\ge7$ — ММЖ бос, шешімі жоқ. $\sqrt{2-x}-\sqrt{x-2}=0$: ММЖ тек $x=2$, ол түбір. Тақ түбірлер кез келген нақты сан үшін анықталған.
• Дәрежеге шығару алгоритмі: 1) ММЖ; 2) бір түбірді жалғыз қалдыру; 3) екі жағын түбір көрсеткішіне сәйкес дәрежеге шығару; 4) қажет болса қайталау; 5) рационал теңдеуді шешу; 6) тексеру.
• $\sqrt f=g\iff\begin{cases}g\ge0,\\ f=g^2.\end{cases}$ Мысалы, $\sqrt x=-2$ шешімі жоқ, ал квадраттасақ $x=4$ «шығады».
• Жаңа айнымалы: $t=\sqrt{f(x)}$, $t\ge0$. Түбір астындағы өрнектер өзара кері болса ($\frac{3x-2}{2x+3}$ және $\frac{2x+3}{3x-2}$), екінші түбір $\frac1t$ болады: $t+\frac1t=a\Rightarrow t^2-at+1=0$.

Мысалдар

1-мысал. $\sin2x=-\frac{\sqrt3}2$. Шешуі: $2x=(-1)^k\left(-\frac\pi3\right)+\pi k=(-1)^{k+1}\frac\pi3+\pi k$, сондықтан $x=(-1)^{k+1}\frac\pi6+\frac{\pi k}2$, $k\in\mathbb Z$.

2-мысал. $2\sin^2x+\cos x-1=0$. Шешуі: $2(1-\cos^2x)+\cos x-1=0\Rightarrow2\cos^2x-\cos x-1=0$; $t=\cos x$: $t=1$ немесе $t=-\frac12$. Жауабы: $x=2\pi k$; $x=\pm\frac{2\pi}3+2\pi k$.

3-мысал. $\sin x-\sqrt3\cos x=0$. Шешуі: біртекті, $\cos x$-ке бөлеміз: $\operatorname{tg}x=\sqrt3$, $x=\frac\pi3+\pi k$.

4-мысал. $\sqrt{x+2}=x$. Шешуі: $x\ge0$ және $x+2=x^2$: $x^2-x-2=0$, $x=2$ немесе $x=-1$. $x=-1$ шартты бұзады (бөгде). Жауабы: $x=2$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• $|a|>1$ болғанда $\sin x=a$ теңдеуіне шешім жазу ($\cos x=2$ — шешімі жоқ).
• $\cos x=a$ шешімінде $\pm$ белгісін немесе $2\pi k$ орнына $\pi k$ жазу.
• $t=\sin x$ алмастыруынан кейін $|t|\le1$ шартын тексермеу.
• Біртекті теңдеуде $\cos x=0$ теңдеудің шешімі болып-болмайтынын тексермей бөлу.
• Иррационал теңдеуде тексерусіз жауап жазу — бөгде түбір.
• $\sqrt f=g$ кезінде $g\ge0$ шартын ұмыту; $t=\sqrt{f}$ кезінде теріс $t$ қалдыру; кері алмастыруды жасамау.

Өзіңді тексер

1. $\cos x=\frac12$ шешімі? Жауабы: $x=\pm\frac\pi3+2\pi k$.
2. $\operatorname{tg}x=-1$ шешімі? Жауабы: $x=-\frac\pi4+\pi k$.
3. $3\sin x+4\cos x=6$ шешімі бар ма? Жауабы: Жоқ: $36>9+16=25$.
4. $\sqrt{x-3}=-1$ шешімі? Жауабы: Жоқ, арифметикалық түбір теріс бола алмайды.
5. $\sqrt[3]{x-1}=2$ шешіңіз. Жауабы: $x-1=8$, $x=9$ (тақ түбір, ММЖ — барлық сандар).