DAMOO

Математика · ЕНТ 2026 · 10. Векторы и преобразования в пространстве

Векторы и преобразования в пространстве.

Начать тест

Чтобы пройти тест, нужно войти или зарегистрироваться.

Конспект

Учебниковая опора

Главное

  • Векторы равны, если они сонаправлены и имеют равные длины.
  • $|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$; середина отрезка — полусуммы координат.
  • $\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$; $\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$.
  • Коллинеарность: координаты пропорциональны; компланарность трёх векторов: определитель из координат равен нулю.
  • Плоскость $Ax+By+Cz+D=0$ с нормалью $\vec n(A;B;C)$; сфера $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$.

Теория

Вектор — направленный отрезок; нулевой вектор имеет длину 0 и неопределённое направление; вектор длины 1 — единичный (орт). От любой точки можно отложить единственный вектор, равный данному.

Координаты. Если $A(x_1;y_1;z_1)$, $B(x_2;y_2;z_2)$:

  • $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1)$;
  • расстояние $|AB|$ — по формуле выше (следствие теоремы Пифагора в параллелепипеде); до начала координат $|OM|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$;
  • середина $M\left(\frac{x_1+x_2}2;\frac{y_1+y_2}2;\frac{z_1+z_2}2\right)$; центр тяжести треугольника — средние арифметические трёх вершин.

Действия: $\vec a\pm\vec b=(x_1\pm x_2;\ y_1\pm y_2;\ z_1\pm z_2)$, $k\vec a=(kx_1;\ ky_1;\ kz_1)$.

Коллинеарность: $\frac{x_2}{x_1}=\frac{y_2}{y_1}=\frac{z_2}{z_1}=k$; при $k>0$ векторы сонаправлены, при $k<0$ — противоположно направлены. Компланарность $\vec a,\vec b,\vec c$: $\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}=0.$

Скалярное произведение и угол. Формула в координатах получается из разложения по ортам ($\vec i^2=\vec j^2=\vec k^2=1$, произведения разных ортов равны 0). $\cos\varphi=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}},\qquad 0^\circ\le\varphi\le180^\circ.$

Уравнения.

  • Сфера с центром $C(x_0;y_0;z_0)$ и радиусом $R$: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$; шар — то же с «$\le$».
  • Плоскость через $M_0$ с нормалью $\vec n(A;B;C)$: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$, т. е. $Ax+By+Cz+D=0$.
  • Прямая через $M_0$ с направляющим вектором $\vec s(m;p;q)$: $\frac{x-x_0}m=\frac{y-y_0}p=\frac{z-z_0}q$.
  • Расстояние от $M_0$ до плоскости: $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

Преобразование подобия в пространстве меняет все расстояния в одно и то же число $k>0$ раз: $|A'B'|=k|AB|$. У подобных тел линейные элементы относятся как $k$, площади — как $k^2$, объёмы — как $k^3$.

Движения в пространстве

Движение — преобразование, сохраняющее расстояния между точками; отрезок переходит в отрезок, прямая в прямую, плоскость в плоскость, фигура в равную ей.

Вид Определение Координаты
Центральная симметрия центр $O$ — середина отрезка $MM_1$ при центре в начале $(x;y;z)\to(-x;-y;-z)$
Осевая симметрия $MM_1$ перпендикулярен оси и делится ею пополам
Зеркальная симметрия $MM_1$ перпендикулярен плоскости и делится ею пополам; точки плоскости неподвижны
Параллельный перенос все точки сдвигаются на один вектор $\vec p$ к координатам прибавляются координаты вектора
Поворот точка поворачивается на угол $\varphi$ в плоскости, перпендикулярной оси

Примеры

1. $A(1;2;3)$, $B(3;6;7)$. Найдите $|AB|$ и середину. Решение: $\overrightarrow{AB}=(2;4;4)$, $|AB|=\sqrt{4+16+16}=6$; $M(2;4;5)$.

2. При каком $m$ векторы $\vec a(2;m;1)$ и $\vec b(3;-2;4)$ перпендикулярны? Решение: $6-2m+4=0$, $m=5$.

3. Найдите угол между $\vec a(1;0;1)$ и $\vec b(0;1;1)$. Решение: $\cos\varphi=\frac1{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12$, $\varphi=60^\circ$.

4. Расстояние от $M(1;2;2)$ до плоскости $2x+y+2z-3=0$. Решение: $d=\frac{|2+2+4-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac53$.

5. Центр и радиус сферы $(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=9$. — $C(1;-2;0)$, $R=3$.

Типичные ошибки на ЕНТ

  • Считают равными противоположно направленные векторы равной длины.
  • Координаты вектора находят как «начало минус конец».
  • Включают $D$ под корень в знаменателе формулы расстояния до плоскости.
  • Ошибаются в знаках центра сферы: из $(y+2)^2$ берут $y_0=2$.
  • Путают коллинеарность (пропорциональность) и перпендикулярность (скалярное произведение 0).
  • Забывают, что угол между векторами может быть тупым ($\cos\varphi<0$).
  • При подобии тел объёмы меняют в $k^2$ раз.

Самопроверка

  1. Длина вектора $(2;-1;2)$? — $3$.
  2. Коллинеарны ли $(1;2;3)$ и $(-2;-4;-6)$? — Да, противоположно направлены.
  3. $\vec a\cdot\vec b$ для $(1;2;3)$ и $(4;0;-1)$? — $1$.
  4. Нормаль плоскости $3x-y+2z+5=0$? — $(3;-1;2)$.
  5. Уравнение сферы с центром в начале координат и $R=2$? — $x^2+y^2+z^2=4$.