Метрические соотношения в пространстве.

Учебниковая опора

• Солтан Г., Солтан А., Жумадилова А. «Геометрия» (ЕМН), 10 класс, Келешек-2030, 2020, с. 55–68, 82–85
• Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж. «Геометрия» (ЕМН), часть 2, 11 класс, 2020, с. 24–35, 42–45, 95–99, 105–108, 126–132, 141–172

Главное

• Диагональ прямоугольного параллелепипеда: $d^2=a^2+b^2+c^2$.
• Теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости, перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна и самой наклонной (и обратно).
• $V_{призмы}=S_{осн}H$, $V_{пирамиды}=\frac13S_{осн}H$; $V_{цил}=\pi R^2H$, $V_{кон}=\frac13\pi R^2H$, $V_{шара}=\frac43\pi R^3$.
• $S_{бок\ цил}=2\pi RH$, $S_{бок\ кон}=\pi RL$, $S_{сферы}=4\pi R^2$.
• У подобных тел: длины — $k$, площади — $k^2$, объёмы — $k^3$.

Теория

Углы. Угол между прямой и плоскостью — угол между наклонной и её проекцией ($0^\circ<\varphi<90^\circ$); для перпендикулярной прямой $90^\circ$, для параллельной — $0^\circ$. Этот угол — наименьший из углов наклонной с прямыми плоскости. Двугранный угол измеряется линейным: на ребре берут точку $O$ и проводят в гранях лучи $OA\perp c$, $OB\perp c$; $\angle AOB$ — линейный угол. Угол между плоскостями — наименьший из образованных двугранных ($0^\circ<\varphi\le90^\circ$).

Теорема о трёх перпендикулярах — главный инструмент для построения линейных углов и расстояний: если $AB\perp\alpha$, $AC$ — наклонная, $BC$ — проекция, $c\subset\alpha$ через $C$, то $c\perp BC\iff c\perp AC$.

Параллелепипед. $d^2=d_1^2+c^2=a^2+b^2+c^2$ (пространственная теорема Пифагора).

Площади поверхностей.

• Призма: $S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}$; прямая призма $S_{бок}=P_{осн}H$; наклонная $S_{бок}=P_\perp L$ (периметр перпендикулярного сечения на ребро).
• Пирамида: $S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}$; правильная $S_{бок}=\frac12P_{осн}h_a$ ($h_a$ — апофема); при равных двугранных углах $\beta$ у основания $S_{бок}=\frac{S_{осн}}{\cos\beta}$.
• Цилиндр: $S_{бок}=2\pi RH$, $S_{полн}=2\pi R(H+R)$.
• Конус: развёртка — сектор радиуса $L$ с дугой $2\pi R$; $S_{бок}=\pi RL$, $S_{полн}=\pi R(L+R)$; угол развёртки $\alpha^\circ=\frac RL\cdot360^\circ$.
• Сфера: $S=4\pi R^2=\pi D^2$ — вчетверо больше большого круга и равна боковой поверхности описанного цилиндра; сферический сегмент (пояс) высоты $h$: $S=2\pi Rh$.

Объёмы.

Тело	Объём
Прямоугольный параллелепипед	$abc$
Призма (любая)	$S_{осн}H$
Пирамида	$\frac13S_{осн}H$
Усечённая пирамида	$\frac13H(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)$
Цилиндр	$\pi R^2H=\frac{\pi D^2}4H$
Конус	$\frac13\pi R^2H$
Усечённый конус	$\frac13\pi H(R_1^2+R_1R_2+R_2^2)$
Шар	$\frac43\pi R^3$
Конус — ровно треть цилиндра с тем же основанием и высотой; объём наклонной призмы равен объёму прямой с теми же $S_{осн}$ и $H$ (принцип Кавальери).

Подобие тел: $\frac{L_1}{L_2}=k$, $\frac{S_1}{S_2}=k^2$, $\frac{V_1}{V_2}=k^3$.

Примеры

1. Измерения параллелепипеда $2$, $3$, $6$. Найдите диагональ. — $\sqrt{4+9+36}=7$.

2. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания $6$, апофема $5$. Найдите $S_{полн}$. Решение: $S_{бок}=\frac12\cdot24\cdot5=60$, $S_{осн}=36$, $S_{полн}=96$.

3. Конус: $R=3$, $H=4$. Найдите $S_{бок}$ и $V$. Решение: $L=5$; $S_{бок}=\pi\cdot3\cdot5=15\pi$; $V=\frac13\pi\cdot9\cdot4=12\pi$.

4. Радиус шара увеличили в 2 раза. Во сколько раз выросли площадь поверхности и объём? — В $4$ и в $8$ раз.

5. Цилиндр: $R=2$, $H=5$. Объём и полная поверхность. — $V=20\pi$; $S=2\pi\cdot2\cdot7=28\pi$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Для наклонной призмы берут $P_{осн}\cdot L$ вместо $P_\perp\cdot L$.
• В $S_{бок}$ пирамиды подставляют высоту $H$ вместо апофемы.
• Путают $2\pi R$ и $\pi R^2$; забывают основания в полной поверхности.
• Забывают множитель $\frac13$ у пирамиды и конуса.
• В формуле усечённого конуса пишут $2R_1R_2$ вместо $R_1R_2$.
• При изменении размеров в $k$ раз площадь меняют в $k$ раз, а объём — в $k^2$.
• Угол между плоскостями берут больше $90^\circ$.

Самопроверка

1. Объём куба с ребром $3$? — $27$.
2. Площадь сферы радиуса $3$? — $36\pi$.
3. Объём пирамиды с $S_{осн}=12$, $H=5$? — $20$.
4. Отношение объёмов подобных тел при $k=3$? — $27$.
5. Во сколько раз объём цилиндра больше объёма конуса с теми же $R$ и $H$? — В $3$ раза.