Понятие о геометрических фигурах в пространстве.

Учебниковая опора

• Солтан Г., Солтан А., Жумадилова А. «Геометрия» (ЕМН), 10 класс, Келешек-2030, 2020, с. 11–19, 24–33, 38–42
• Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж. «Геометрия» (ЕМН), часть 2, 11 класс, 2020, с. 17–23, 30–33, 54–58, 89–94, 100–104, 117–125

Главное

• Плоскость задают: три точки не на одной прямой; прямая и точка вне её; две пересекающиеся или две параллельные прямые.
• Две прямые в пространстве: пересекаются, параллельны, совпадают или скрещиваются (не лежат в одной плоскости).
• Прямая $\perp$ плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Правильных многогранников ровно пять; для них $В-Р+Г=2$.
• Правильная пирамида: в основании правильный многоугольник, вершина проектируется в его центр.

Теория

Аксиомы. С1: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. С2: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней. С3: если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой.

Прямые. Признак скрещивающихся прямых: одна прямая лежит в плоскости, другая пересекает плоскость в точке, не лежащей на первой.

Прямая и плоскость: пересекаются, прямая лежит в плоскости или они параллельны (нет общих точек). Признак: прямая, не лежащая в плоскости, параллельная какой-нибудь прямой этой плоскости, параллельна плоскости. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, линия пересечения параллельна этой прямой.

Плоскости. Параллельны, если нет общих точек. Признак: две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой. Свойства: третья плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым; отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны; через точку вне плоскости проходит единственная параллельная ей плоскость.

Перпендикулярность. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая тоже; две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны; через любую точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Призма — два равных $n$-угольника в параллельных плоскостях (основания) и $n$ параллелограммов (боковые грани). Боковые рёбра равны и параллельны. Высота $H$ — расстояние между основаниями; в наклонной призме $H

Пирамида — основание-многоугольник и треугольные боковые грани с общей вершиной. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды. В правильной пирамиде боковые рёбра равны, боковые грани — равные равнобедренные треугольники; связи: $H^2+R^2=L^2,\qquad H^2+r^2=h_a^2,\qquad h_a^2+\left(\frac a2\right)^2=L^2,$ где $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей основания; угол бокового ребра с основанием: $\cos\alpha=\frac RL$, двугранный угол при основании: $\cos\beta=\frac r{h_a}$.

Правильные многогранники (все грани — равные правильные многоугольники, в каждой вершине одинаковое число рёбер; сумма плоских углов при вершине $<360^\circ$):

Многогранник	Грани	В	Р	Г
Тетраэдр	треугольники	4	6	4
Куб	квадраты	8	12	6
Октаэдр	треугольники	6	12	8
Додекаэдр	пятиугольники	20	30	12
Икосаэдр	треугольники	12	30	20
Двойственные пары: куб — октаэдр, додекаэдр — икосаэдр; тетраэдр самодвойственен.

Тела вращения.

• Цилиндр — вращение прямоугольника вокруг стороны; основания — равные круги; образующие равны и параллельны оси, $L=H$.
• Конус — вращение прямоугольного треугольника вокруг катета; образующая $L$ — гипотенуза, $L^2=H^2+R^2$.
• Сфера — точки на расстоянии $R$ от центра; шар — точки с $|OM|\le R$ (вращение полукруга вокруг диаметра); $D=2R$.

Примеры

1. Сколько плоскостей проходит через две параллельные прямые? — Ровно одна.

2. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания $6$, высота $4$. Найдите апофему. Решение: $r=3$, $h_a=\sqrt{4^2+3^2}=5$.

3. Проверьте формулу Эйлера для октаэдра. — $6-12+8=2$.

4. Высота конуса $12$, радиус $5$. Найдите образующую. — $\sqrt{144+25}=13$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Считают скрещивающиеся прямые параллельными, раз они «не пересекаются»: параллельные обязаны лежать в одной плоскости.
• Проверяют перпендикулярность прямой и плоскости по одной прямой в плоскости (нужны две пересекающиеся).
• Апофему считают через $R$ вместо $r$.
• В наклонной призме принимают боковое ребро за высоту.
• Считают правильной любую пирамиду с ромбом в основании; называют более пяти правильных многогранников.
• Изображают основание конуса на чертеже окружностью вместо эллипса.

Самопроверка

1. Сколько рёбер у куба? — $12$.
2. Сколько граней у икосаэдра? — $20$.
3. Две прямые перпендикулярны одной плоскости. Как они расположены? — Параллельны.
4. Сечение цилиндра плоскостью через ось? — Прямоугольник (осевое сечение).
5. Какой многогранник двойствен кубу? — Октаэдр.