Метрические соотношения. Векторы и преобразования.

Учебниковая опора

• Смирнов В. А., Туяков Е. А. «Геометрия. 8 класс», 8 класс, Мектеп, 2018, с. 53, 57, 58, 63, 64, 66, 67, 75, 78, 93–99, 102–104, 120, 121
• Смирнов В. А., Туяков Е. А. «Геометрия. 9 класс», 9 класс, Мектеп, 2019, с. 28, 29, 33, 34, 44–63, 70–79, 132–140

Главное

• Пифагор: $c^2=a^2+b^2$; теорема косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
• Теорема синусов: $\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin B}=\dfrac c{\sin C}=2R$.
• $S_\triangle=\frac12ah=\frac12ab\sin C=pr$.
• Отношение площадей подобных фигур равно $k^2$, периметров — $k$.
• $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\varphi=x_1x_2+y_1y_2$; $\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$.

Теория

Прямоугольный треугольник. $c=\sqrt{a^2+b^2}$, $a=\sqrt{c^2-b^2}$. Обратная теорема: если $c^2=a^2+b^2$, треугольник прямоугольный.

Теорема косинусов — обобщённая теорема Пифагора (при $C=90^\circ$ $\cos C=0$). $\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$: если $c^2a^2+b^2$ — тупой.

Теорема синусов. $a=2R\sin A$. В прямоугольном треугольнике $c=2R$: центр описанной окружности — середина гипотенузы. Синус тупого угла равен синусу смежного острого.

Площади.

Фигура	Формулы
Треугольник	$\frac12ah$, $\frac12bc\sin A$, $S=pr$
Прямоугольный треугольник	$\frac12ab$ (катеты)
Параллелограмм	$ah$, $ab\sin\alpha$
Ромб	$\frac12d_1d_2$
Трапеция	$\frac{a+b}2h=mh$ ($m$ — средняя линия)
Круг, сектор	$\pi R^2$, $\frac{\pi R^2\varphi}{360^\circ}$
Сегмент = сектор − равнобедренный треугольник со сторонами $R$ и углом $\varphi$. Радиус вписанной окружности $r=\frac Sp$ ($p$ — полупериметр). В равнобедренной трапеции $h=c\sin\alpha$, проекция боковой стороны $c\cos\alpha$.

Окружность. Длина дуги $l=\dfrac{\pi R\varphi}{180^\circ}$; полуокружность — $\pi R$.

Подобие. Признаки: два угла соответственно равны; две стороны пропорциональны и углы между ними равны. Тогда $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$, $\frac{S_1}{S_2}=k^2$.

Координаты и векторы. $A_1A_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$; $|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}$. Расстояние от $M(x;y)$ до $Ox$ — $|y|$, до $Oy$ — $|x|$. Скалярный квадрат $\vec a^2=|\vec a|^2$; свойства: переместительное, $(t\vec a)\cdot\vec b=t(\vec a\cdot\vec b)$, распределительное.

Преобразования. Параллельный перенос на $\vec a$, осевая и центральная симметрии (центр — середина $AA'$), поворот — движения: отрезок переходит в отрезок, окружность — в окружность того же радиуса. Гомотетия с центром $O$ и $k\ne0$: $\overrightarrow{OA'}=k\overrightarrow{OA}$; при $k<0$ точки по разные стороны от $O$; $k=-1$ — центральная симметрия. Гомотетия переводит прямую в параллельную, сохраняет углы, длины умножает на $|k|$.

Примеры

1. Стороны $a=5$, $b=8$, угол между ними $60^\circ$. Найдите третью сторону. Решение: $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=49$, $c=7$.

2. Сторона $a=6$, противолежащий угол $30^\circ$. Найдите $R$. Решение: $2R=\frac6{\sin30^\circ}=12$, $R=6$.

3. Площади подобных треугольников $9$ и $25$. Найдите $k$. Решение: $k=\sqrt{\frac9{25}}=\frac35$ (или $\frac53$).

4. $\vec a(3;-2)$, $\vec b(4;6)$. Перпендикулярны ли они? Решение: $3\cdot4+(-2)\cdot6=0$ — да.

5. Ромб с диагоналями $6$ и $8$: площадь и сторона. Решение: $S=\frac12\cdot6\cdot8=24$; сторона $\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• $c=3+4=7$ вместо $c=\sqrt{9+16}=5$.
• В теореме косинусов берут косинус не того угла (нужен угол между $a$ и $b$).
• В теореме синусов пишут $R$ вместо $2R$.
• Умножают сторону на высоту, проведённую к другой стороне.
• Путают диагонали и стороны в формуле площади ромба.
• Для площадей подобных фигур берут $k$ вместо $k^2$, забывают извлечь корень.
• Считают скалярное произведение всегда положительным.
• При гомотетии с $k=-2$ длину умножают на $-2$ (верно — на $2$).

Самопроверка

1. Катеты $6$ и $8$. Гипотенуза? — $10$.
2. Площадь треугольника со сторонами $6$, $5$ и углом $30^\circ$ между ними? — $7{,}5$.
3. Трапеция: основания $4$ и $10$, высота $5$. Площадь? — $35$.
4. Длина дуги $90^\circ$ радиуса $4$? — $2\pi$.
5. Расстояние между $A(1;2)$ и $B(4;6)$? — $5$.