Понятие о геометрических фигурах. Взаимное расположение геометрических фигур.

Учебниковая опора

• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Амалбекова Л. Е. «Геометрия. 7 класс», 7 класс, Атамура, 2025, с. 26, 30–32, 45, 59–61, 66, 67, 69–71, 81, 82, 84, 86–88, 103
• Смирнов В. А., Туяков Е. А. «Геометрия. 8 класс», 8 класс, Мектеп, 2018, с. 14, 20–22, 26, 27, 29–32, 37–39
• Смирнов В. А., Туяков Е. А. «Геометрия. 9 класс», 9 класс, Мектеп, 2019, с. 100–104

Главное

• Смежные углы в сумме $180^\circ$; вертикальные углы равны.
• Прямые параллельны, если накрест лежащие или соответственные углы равны, либо односторонние в сумме $180^\circ$ (и наоборот).
• Сумма углов треугольника $180^\circ$; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
• Сумма углов выпуклого $n$-угольника $180^\circ(n-2)$; сумма внешних — $360^\circ$.
• Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; вписанный угол равен половине центрального на ту же дугу.

Теория

Углы. Из четырёх углов при пересечении двух прямых две пары равны (вертикальные), соседние дают $180^\circ$. Угол между биссектрисами смежных углов равен $90^\circ$.

Элементы треугольника. Медиана — отрезок из вершины к середине противоположной стороны; биссектриса — отрезок биссектрисы угла до противоположной стороны; высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей сторону (основание может лежать на продолжении); средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон. Серединный перпендикуляр — прямая.

Многоугольники. У правильного $n$-угольника угол $\alpha=\dfrac{180^\circ(n-2)}n$, внешний угол $\dfrac{360^\circ}n$ (квадрат — $90^\circ$, правильный шестиугольник — $120^\circ$).

Четырёхугольники.

• Параллелограмм: углы, прилежащие к одной стороне, в сумме $180^\circ$; противолежащие стороны и углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• Прямоугольник — все углы прямые; признак: параллелограмм с равными диагоналями.
• Ромб — параллелограмм с равными сторонами; признак: диагонали перпендикулярны.
• Квадрат — прямоугольник с равными сторонами (он же ромб с прямыми углами).
• Трапеция — две стороны параллельны (основания), две другие — нет. Равнобедренная: углы при основании равны, диагонали равны. У прямоугольной трапеции одна боковая сторона равна высоте.

Окружность и касательная. Через точку вне окружности проходят две касательные; их отрезки до точек касания равны, а центр лежит на биссектрисе угла между ними.

Вписанный угол (вершина на окружности) равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Вписанные углы на одну дугу равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр, — $90^\circ$. Угол между хордой и касательной измеряется половиной дуги внутри него.

Окружности и треугольник.

	описанная	вписанная
проходит через / касается	вершин	сторон
центр	пересечение серединных перпендикуляров	пересечение биссектрис
В равностороннем треугольнике центры совпадают. В прямоугольном центр описанной окружности — середина гипотенузы (медиана к гипотенузе равна её половине).

Четырёхугольник и окружность. В четырёхугольник можно вписать окружность $\iff AB+CD=BC+AD$. Около него можно описать окружность $\iff\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^\circ$.

Примеры

1. Внешний угол равнобедренного треугольника $115^\circ$ и смежен с углом при основании. Найдите углы. Решение: угол при основании $65^\circ$, второй тоже $65^\circ$, вершина $180^\circ-130^\circ=50^\circ$.

2. Найдите угол правильного десятиугольника. Решение: $\frac{180^\circ\cdot8}{10}=144^\circ$.

3. Хорда $AB$ равна радиусу. Найдите угол между хордой и касательной в точке $A$. Решение: $\triangle AOB$ равносторонний, $\angle OAB=60^\circ$; касательная $\perp OA$, угол $90^\circ-60^\circ=30^\circ$.

4. В четырёхугольник со сторонами $AB=5$, $BC=7$, $CD=9$ вписана окружность. Найдите $AD$. Решение: $AB+CD=BC+AD$: $14=7+AD$, $AD=7$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Приравнивают любые два угла при пересечении прямых (равны только вертикальные).
• Применяют свойства параллельных прямых, не убедившись в параллельности; путают накрест лежащие и односторонние.
• Берут внешний угол при той вершине, где он смежен с искомым.
• Делят на $n$ сумму внешних углов вместо внутренних.
• Считают, что диагонали параллелограмма делятся в отношении $2:1$; любой четырёхугольник с равными сторонами — ромбом.
• Ищут центр вписанной окружности на серединных перпендикулярах.
• Для вписанного четырёхугольника пишут $AB+BC=CD+AD$.
• Для угла между хордой и касательной берут всю дугу, а не половину.

Самопроверка

1. Один из смежных углов на $30^\circ$ больше другого. Найдите их. — $75^\circ$ и $105^\circ$.
2. Сумма углов выпуклого шестиугольника? — $720^\circ$.
3. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр? — $90^\circ$.
4. Какой параллелограмм с перпендикулярными диагоналями? — Ромб.
5. Угол вписанного четырёхугольника $A=70^\circ$. Найдите $\angle C$. — $110^\circ$.