Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования

Учебниковая опора

• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра и начала анализа. 10 класс ЕМН», 10 класс, Мектеп, 2019, с. 227–232, 245–262, 269–286, 359–364, 371–376, 403–416
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н. «Алгебра и начала анализа» (ЕМН), часть 1, 11 класс, Атамура, 2020, с. 13, 17, 18, 39–43, 53
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра. 9 класс», часть 1, 9 класс, Мектеп, 2019, с. 45–50

Главное

• $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$; $(uv)'=u'v+uv'$; $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$; $[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.
• Геометрический смысл: $f'(x_0)=k=\operatorname{tg}\alpha$ — угловой коэффициент касательной.
• Физический смысл: $v(t)=s'(t)$, $a(t)=v'(t)=s''(t)$.
• $f'>0$ — возрастание, $f'<0$ — убывание; смена знака $f'$ с «+» на «−» — максимум, с «−» на «+» — минимум.
• $\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ (формула Ньютона — Лейбница).

Теория

Производные. $(C)'=0$, $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ для любых показателей: $\left(\frac1{x^k}\right)'=-\frac k{x^{k+1}}$, $(\sqrt[m]{x^k})'=\frac km x^{\frac km-1}$. Тригонометрические: $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(\operatorname{tg}x)'=\frac1{\cos^2x}$, $(\operatorname{ctg}x)'=-\frac1{\sin^2x}$; $(\sin kx)'=k\cos kx$. Сложная функция: $(u^n)'=nu^{n-1}u'$, $(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}$, $(\sin u)'=\cos u\cdot u'$.

Касательная в точке $x_0$: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$ Алгоритм: $f(x_0)$ → $f'(x)$ → $f'(x_0)$ → подстановка. Если $f'(x_0)>0$, угол наклона острый; $<0$ — тупой; $=0$ — касательная параллельна $Ox$.

Физический смысл: скорость — производная пути, ускорение — производная скорости; сила тока $I=q'(t)$, мощность $N=A'(t)$.

Монотонность: найти $D(f)$, $f'(x)$, критические точки ($f'=0$ или не существует), определить знак $f'$ на интервалах.

Экстремум. Первый признак — смена знака $f'$. Второй: при $f'(x_0)=0$ $f''(x_0)<0$ — максимум, $f''(x_0)>0$ — минимум, $f''(x_0)=0$ — признак не работает. Если знак $f'$ не меняется — экстремума нет.

Наибольшее и наименьшее на $[a;b]$: найти критические точки, оставить лежащие внутри отрезка, вычислить $f$ в них и на концах, выбрать наибольшее и наименьшее.

Интегралы. Таблица — обращение таблицы производных: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne-1),\quad \int\cos x\,dx=\sin x+C,\quad \int\sin x\,dx=-\cos x+C,\quad \int\frac{dx}{\cos^2x}=\operatorname{tg}x+C.$ Свойства определённого интеграла: $\int_a^b=-\int_b^a$, $\int_a^a=0$, $\int_a^bk\,dx=k(b-a)$, интеграл суммы равен сумме интегралов, константу выносят. Площадь между $y=f(x)$ (сверху) и $y=g(x)$ (снизу): $S=\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx$; пределы — абсциссы точек пересечения ($f(x)=g(x)$).

Математическое моделирование. Этапы: изучить условие; обозначить неизвестные; выразить остальные величины; составить уравнение (систему) или целевую функцию $Y=f(x)$ с реальным диапазоном $x\in[a;b]$; решить (для оптимизации — исследовать $f'$); проверить смысл (скорость $>0$, число рабочих натуральное). Движение по реке: $v+s$ по течению, $v-s$ против.

Примеры

1. Найдите $f'(x)$, если $f(x)=x^3\sin x$. Решение: $3x^2\sin x+x^3\cos x$.

2. Уравнение касательной к $y=x^2$ в точке $x_0=1$. Решение: $f(1)=1$, $f'(1)=2$; $y=1+2(x-1)=2x-1$.

3. Наибольшее значение $f(x)=x^3-3x$ на $[0;2]$. Решение: $f'=3x^2-3=0$, $x=1\in[0;2]$. $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$. Наибольшее $2$, наименьшее $-2$.

4. $s(t)=t^3-2t$ (м). Найдите скорость при $t=2$ с. Решение: $v=3t^2-2$, $v(2)=10$ м/с.

5. Площадь фигуры под $y=x^2$ на $[0;3]$. Решение: $\int_0^3x^2dx=\frac{x^3}3\Big|_0^3=9$.

6. Из проволоки длиной 20 м сделать прямоугольник наибольшей площади. Решение: стороны $x$ и $10-x$, $S=10x-x^2$, $S'=10-2x=0$, $x=5$: квадрат $5\times5$, $S=25$ м².

Типичные ошибки на ЕНТ

• $(uv)'=u'v'$; в производной частного меняют порядок в числителе.
• Забывают множитель $g'(x)$ у сложной функции: $(\sin3x)'=\cos3x$ (верно $3\cos3x$).
• $(\cos x)'=\sin x$ — теряют минус; $\int\sin x\,dx=\cos x$ — тоже.
• Берут критическую точку вне отрезка или забывают значения на концах.
• Считают каждую точку с $f'=0$ экстремумом, не проверив смену знака.
• Берут пределы интегрирования «на глаз»; забывают минус при перестановке пределов.
• В прикладной задаче не проверяют допустимый диапазон переменной.

Самопроверка

1. $(\sqrt x)'=$? — $\frac1{2\sqrt x}$.
2. Угловой коэффициент касательной к $y=\sin x$ в точке $0$? — $1$.
3. $f'$ меняет знак с «−» на «+» в точке $x_0$. Что это? — Точка минимума.
4. Вычислите $\int_1^2 2x\,dx$. — $4-1=3$.
5. Ускорение при $s(t)=t^2$? — $2$.