Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Учебниковая опора

• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра. 9 класс», часть 1, 9 класс, Мектеп, 2019, с. 113–119, 122–128, 130–138, 142–145, 151–154

Главное

• Арифметическая: $a_{n+1}=a_n+d$; $a_n=a_1+(n-1)d$; $S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n$.
• Геометрическая: $b_{n+1}=b_nq$, $b_1\ne0$, $q\ne0$; $b_n=b_1q^{n-1}$; $S_n=\dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ ($q\ne1$).
• Характеристические свойства: $a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$; $b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$.
• Бесконечно убывающая ($|q|<1$): $S=\dfrac{b_1}{1-q}$.
• Числа $n$ — номер члена — всегда натуральное.

Теория

Арифметическая прогрессия — каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс постоянное число $d$ (разность). Примеры: $-8;-2;4;10;\ldots$ ($d=6$), $5;4;3;\ldots$ ($d=-1$). Распознают по равенству разностей $a_2-a_1=a_3-a_2$. Если формула приводится к виду $a_n=kn+b$, это арифметическая прогрессия; её график — точки на прямой.

Сумма членов, равноотстоящих от концов, одинакова: $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\ldots$ — на этом основан вывод $S_n=\frac{a_1+a_n}2\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)d}2\cdot n.$

Геометрическая прогрессия — первый член не равен нулю, каждый следующий равен предыдущему, умноженному на $q\ne0$ (знаменатель). Примеры: $3;6;12;\ldots$ ($q=2$), $40;20;10;5;\ldots$ ($q=\frac12$). Распознают по равенству отношений $\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}$. Знаменатель может быть дробным, отрицательным, иррациональным, но не нулём; при $q<0$ знаки членов чередуются.

Сумма выводится приёмом «умножить на $q$ и вычесть»: $S_n-qS_n=b_1-b_1q^n$, откуда $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\quad(q\ne1);\qquad S_n=nb_1\ \ (q=1).$

Бесконечно убывающая прогрессия ($|q|<1$): члены по модулю стремятся к нулю, сумма всех членов $S=\dfrac{b_1}{1-q}$. Применение — перевод периодической дроби в обыкновенную: $0{,}(03)=0{,}03+0{,}0003+\ldots$, $q=0{,}01$, $S=\dfrac{0{,}03}{0{,}99}=\dfrac1{33}$. Не забывают прибавить целую часть и цифры до периода.

Задачи. Порядок: определить вид прогрессии и записать $a_1,d$ (или $b_1,q$); выбрать формулу; составить уравнение; проверить, что $n$ натуральное. Число положительных (отрицательных) членов находят из неравенства $a_1+(n-1)d>0$ ($<0$). Геометрическая прогрессия описывает величины, меняющиеся в постоянное число раз (рост вклада, вставка чисел между данными).

Формулы

	Арифметическая	Геометрическая
Определение	$a_{n+1}=a_n+d$	$b_{n+1}=b_nq$
$n$-й член	$a_n=a_1+(n-1)d$	$b_n=b_1q^{n-1}$
Свойство	$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$	$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$
Сумма	$S_n=\frac{a_1+a_n}2n$	$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$
Бесконечная	—	$S=\frac{b_1}{1-q},\ \lvert q\rvert<1$

Примеры

1. $a_1=-8$, $d=6$. Найдите $a_{10}$ и $S_{10}$. Решение: $a_{10}=-8+9\cdot6=46$; $S_{10}=\frac{-8+46}2\cdot10=190$.

2. $b_1=3$, $q=2$. Найдите $b_5$ и $S_5$. Решение: $b_5=3\cdot2^4=48$; $S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93$.

3. Сколько отрицательных членов у прогрессии $a_1=-50$, $d=3$? Решение: $-50+3(n-1)<0\Rightarrow n<17\frac23$, значит $n\le17$: 17 членов.

4. Найдите сумму $40+20+10+5+\ldots$ Решение: $q=\frac12$, $S=\frac{40}{1-\frac12}=80$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Считают арифметической последовательность с разными разностями ($4;20;100;\ldots$ — геометрическая).
• Путают в формуле суммы $a_n$ (последний член) и $n$ (число членов).
• Находят $d$, вычитая в обратном порядке, и получают неверный знак.
• В $b_n=b_1q^{n-1}$ берут $q^n$.
• Применяют общую формулу суммы при $q=1$.
• При $b_3^2=36$ берут только $b_3=6$, забывая $-6$ при $q<0$.
• Округляют номер «в невыгодную сторону» при решении неравенства.

Самопроверка

1. $a_3=7$, $a_5=13$. Чему равно $a_4$? — $10$.
2. $b_2=4$, $b_4=16$, члены положительны. Найдите $b_3$. — $8$.
3. Чему равен $d$ в прогрессии $5;4;3;\ldots$? — $-1$.
4. Переведите $0{,}(3)$ в обыкновенную дробь. — $\frac13$.
5. Сумма первых 100 натуральных чисел? — $\frac{1+100}2\cdot100=5050$.