Система линейных неравенств. Система дробно-рациональных неравенств с одной переменной

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 6 класс, Атамұра, 2018, с. 47–49, 52, 61–64
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т., Корчевский В., Жумагулова З. «Алгебра», 8 класс, Мектеп, 2018, с. 152–156, 162, 163
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра. 9 класс», часть 1, 9 класс, Мектеп, 2019, с. 61–63
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н. «Алгебра и начала анализа» (ЕМН), часть 2, 11 класс, Атамура, 2020, с. 63, 64, 70, 71

Главное

• Решение системы неравенств — пересечение ($\cap$) решений всех неравенств; совокупности («или») — объединение ($\cup$).
• Общий конец промежутков входит в пересечение, только если входит в оба: $(-\infty;7]\cap[7;12)=\{7\}$.
• Если общих точек нет — ответ $\varnothing$.
• Двойное неравенство $a
• В системах показательных и логарифмических неравенств каждое неравенство решают с учётом основания и ОДЗ, затем пересекают.

Теория

Алгоритм для любой системы с одной переменной:

1. решить каждое неравенство отдельно;
2. изобразить решения на одной координатной прямой;
3. найти общую часть (двойная штриховка);
4. записать ответ промежутком или $\varnothing$.

Промежутки. Объединение — числа хотя бы одного промежутка; пересечение — числа обоих. Объединение не всегда один промежуток: $[-6;1]\cup[4;10]$. Пересечение бывает пустым ($(-\infty;-4)\cap(2;+\infty)=\varnothing$) или точкой.

Дробно-рациональные неравенства в системе решают методом интервалов: знаки $\frac{P(x)}{Q(x)}$ совпадают со знаками $P(x)Q(x)$, нули знаменателя выкалывают, множители чётной степени знак не меняют. Затем пересекают с решениями остальных неравенств.

Линейное + квадратное. $x-8\le3$ даёт $(-\infty;11]$; $9x^2+x\ge0$, т. е. $x(9x+1)\ge0$, даёт $\left(-\infty;-\frac19\right]\cup[0;+\infty)$; пересечение $\left(-\infty;-\frac19\right]\cup[0;11]$.

Нахождение области определения часто сводится к системе: $y=\sqrt{(x-2)(x+1)}+\sqrt{9-x^2}$ требует $(x-2)(x+1)\ge0$ и $9-x^2\ge0$; ответ $[-3;-1]\cup[2;3]$.

Нелинейные неравенства с двумя переменными (например, $x^2+y^2<4$, $y

Показательные и логарифмические неравенства в системе:

• $a>1$: $a^fg$;
• $\log_au<\log_av$: при $a>1$ — $u>0,\ v>0,\ u0,\ v>0,\ u>v$. Каждое неравенство решают отдельно (ОДЗ — заранее), затем пересекают.

Примеры

1. Решите $17<4x-3<33$. Решение: $20<4x<36$, $5

2. Решите систему $x^2-4x\ge0$, $x^2-2x-3<0$. Решение: первое — $(-\infty;0]\cup[4;+\infty)$, второе — $(-1;3)$. Пересечение: $(-1;0]$.

3. Решите систему $x\le4$, $x>6$. Решение: общих точек нет — $\varnothing$.

4. Решите систему $5^{3x-2}<5^{x+3}$, $\log_2x>2$. Решение: $3x-24$. Пересечение пусто: $\varnothing$.

5. Решите систему $9^x-10\cdot3^x+9\le0$, $\log_{1/3}(2x+5)<-2$. Решение: $y=3^x$: $1\le y\le9$, т. е. $0\le x\le2$. Второе: основание $<1$, $2x+5>9$, $x>2$. Пересечение пусто: $\varnothing$. (Если бы второе было $x\ge2$, ответ был бы $\{2\}$.)

Типичные ошибки на ЕНТ

• Объединяют решения неравенств системы вместо пересечения (или пересекают в совокупности).
• Считают $(-\infty;7]\cap[7;12)$ пустым.
• В двойном неравенстве действуют только с одной частью.
• Включают концы при строгом знаке; включают нули знаменателя.
• Отмечают решения на разных прямых и теряют часть ответа.
• Не меняют знак при основании $00$.

Самопроверка

1. Решите систему $x>2$, $x<8$. — $(2;8)$.
2. Чему равно $(-\infty;-4)\cap(2;+\infty)$? — $\varnothing$.
3. Решите систему $x^2-4x-5\le0$, $x^2+3{,}5x+1{,}5<0$. — $[-1;-0{,}5)$.
4. Решите $\lg(x+1)\le1-\lg(2x-6)$. — $(3;4]$.
5. Решение совокупности $x<1$ или $x>3$? — $(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$.