Линейные, квадратные и рациональные неравенства

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 6 класс, Атамұра, 2018, с. 52–56
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т., Корчевский В., Жумагулова З. «Алгебра», 8 класс, Мектеп, 2018, с. 144–149, 152–156
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра и начала анализа. 10 класс ЕМН», 10 класс, Мектеп, 2019, с. 123–128
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н. «Алгебра и начала анализа» (ЕМН), часть 1, 11 класс, Атамура, 2020, с. 144–146
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н. «Алгебра и начала анализа» (ЕМН), часть 2, 11 класс, Атамура, 2020, с. 63, 64, 70, 71

Главное

• При делении (умножении) на отрицательное число знак неравенства меняется.
• Квадратное неравенство при $a>0$, $D>0$: «$>0$» — вне корней, «$<0$» — между корнями.
• Метод интервалов: знаки чередуются, нули знаменателя в ответ не входят, множители чётной степени знак не меняют.
• Показательные и логарифмические: при $a>1$ знак сохраняется, при $0
• Возводить неравенство в квадрат можно только при неотрицательных обеих частях.

Теория

Линейные. $kx>b$: при $k>0$ $x>\frac bk$; при $k<0$ $x<\frac bk$. Алгоритм: перенести (со сменой знака слагаемого), привести подобные, разделить на коэффициент. $4x+3>x+18\Rightarrow3x>15\Rightarrow x>5$, т. е. $(5;+\infty)$.

Квадратные $ax^2+bx+c>0$ ($a\ne0$). При $a<0$ умножают на $-1$ и меняют знак. Для $a>0$:

$D$	$ax^2+bx+c>0$	$ax^2+bx+c<0$
$D<0$	все $x$	нет решений
$D=0$	все $x\ne x_1$ ($\ge0$ — все $x$)	нет ($\le0$ — только $x_1$)
$D>0$	$xx_2$	$x_1

Метод интервалов. Отметить нули в порядке возрастания; найти знак на крайнем правом промежутке (с учётом старшего коэффициента); чередовать знаки; выписать нужные промежутки. Для $\frac{P(x)}{Q(x)}$ знаки как у $P(x)Q(x)$, но нули $Q(x)$ выкалывают.

Тригонометрические ($|a|<1$, $k\in\mathbb Z$):

• $\sin x>a$: $x\in(\arcsin a+2\pi k;\ \pi-\arcsin a+2\pi k)$;
• $\sin x
• $\cos x>a$: $x\in(-\arccos a+2\pi k;\ \arccos a+2\pi k)$;
• $\cos x
• $\operatorname{tg}x>a$: $x\in\left(\operatorname{arctg}a+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right)$.

Иррациональные (корень чётной степени):

• $\sqrt{f(x)}\ge a$: при $a\ge0$ — $f(x)\ge a^2$; при $a<0$ — $f(x)\ge0$;
• $\sqrt{f(x)}0$ — $0\le f(x)

Возведение в нечётную степень даёт равносильное неравенство без смены знака.

Показательные: приводят к одному основанию; $a>1$: $a^{f}g$. При замене $y=a^x$ помнят $y>0$.

Логарифмические: $\log_au<\log_av$ равносильно при $a>1$ системе $u>0,\ v>0,\ u0,\ v>0,\ u>v$. Число $b$ записывают как $\log_aa^b$. ОДЗ удобно найти заранее.

Примеры

1. Решите $x^2-5x+6<0$. Решение: корни $2$ и $3$, $a>0$ — между корнями: $(2;3)$.

2. Решите $\dfrac{x-1}{x+2}\ge0$. Решение: нули $1$ и $-2$ (выколот). Справа «+», чередуем: $(-\infty;-2)\cup[1;+\infty)$.

3. Решите $\left(\frac12\right)^x>4$. Решение: $\left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^{-2}$, основание $<1$ — знак меняется: $x<-2$.

4. Решите $\log_2(x-3)<2$. Решение: $0

5. Решите $\sqrt{x-1}<2$. Решение: $0\le x-1<4$, $x\in[1;5)$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Не меняют знак при делении на отрицательное число или при основании $0
• Для «$>0$» пишут ответ «между корнями».
• Считают, что при $D<0$ решений нет при любом знаке $a$.
• Включают нули знаменателя в ответ; меняют знак при переходе через корень чётной кратности.
• Возводят в квадрат, не проверив знак правой части; забывают $f(x)\ge0$.
• Забывают ОДЗ логарифма $u(x)>0$.

Самопроверка

1. Решите $-2x>8$. — $x<-4$.
2. Решите $x^2+1>0$. — Любое $x$.
3. Решите $2^x\le8$. — $x\le3$.
4. Решите $\cos x>\frac12$. — $\left(-\frac\pi3+2\pi k;\ \frac\pi3+2\pi k\right)$.
5. Решите $\log_{0{,}5}x>1$. — $0