Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений

Учебниковая опора

• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра и начала анализа. 10 класс ЕМН», 10 класс, Мектеп, 2019, с. 115–122
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н. «Алгебра и начала анализа» (ЕМН), часть 1, 11 класс, Атамура, 2020, с. 137, 138
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н. «Алгебра и начала анализа» (ЕМН), часть 2, 11 класс, Атамура, 2020, с. 48, 55, 58, 59

Главное

• Все такие системы решают знакомыми способами: подстановкой, сложением, введением новых переменных.
• Тригонометрические системы с линейной связью $x+y=\alpha$ решают подстановкой $y=\alpha-x$ или формулами суммы в произведение.
• Иррациональные: удобны замены $u=\sqrt x$, $v=\sqrt y$; ОДЗ — подкоренные выражения $\ge0$.
• Показательные: замены $u=a^x$, $v=b^y$ ($u,v>0$), затем возврат к $x$, $y$ (при необходимости — через логарифм).
• Логарифмические: $\log_ax+\log_ay=\log_a(xy)$; ОДЗ $x>0,\ y>0$ проверяется всегда.

Теория

Тригонометрические системы.

1. Линейная связь аргументов: $x+y=\alpha$ и $\sin x+\sin y=a$. Либо $y=\alpha-x$, либо $\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2=2\sin\frac\alpha2\cos\frac{x-y}2=a,$ откуда находят $x-y$ и решают линейную систему.
2. Симметрические системы (не меняются при перестановке $x$ и $y$): вводят $u=x+y$, $v=x-y$.

Иррациональные системы. Сначала упрощают уравнения, затем вводят замену (например, $u=\sqrt x-\sqrt y$). Найдя $\sqrt x$, не забывают возвести в квадрат. Решения проверяют по ОДЗ.

Показательные системы. Замена $u=a^x$, $v=b^y$ превращает систему в линейную или квадратную. После нахождения $u$, $v$ решают простейшие уравнения $a^x=u$; если $u$ не степень основания, $x=\log_au$. Помнят: $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$, а не $a^x+a^y$.

Логарифмические системы. Уравнение с логарифмами обычно даёт простое соотношение: $\log_ax+\log_ay=c\Rightarrow xy=a^c$; $\log_ax-\log_ay=c\Rightarrow \frac xy=a^c$. Вместе со вторым уравнением получается алгебраическая система (часто — по теореме Виета). Решения с $x\le0$ или $y\le0$ исключают.

Примеры

1. Решите $x+y=\frac\pi2$, $\sin^2x+\sin^2y=1$. Решение: $y=\frac\pi2-x$, $\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x$, получаем $\sin^2x+\cos^2x=1$ — тождество. Ответ: все пары $\left(x;\frac\pi2-x\right)$, $x\in\mathbb R$.

2. Решите $\sqrt x+\sqrt y=8$, $\sqrt x-\sqrt y=2$. Решение: складывая, $2\sqrt x=10$, $\sqrt x=5$, $x=25$; вычитая, $2\sqrt y=6$, $y=9$. Ответ: $(25;9)$.

3. Решите $3^x-2^y=1$, $3^{x+1}+2^y=11$. Решение: $u=3^x$, $v=2^y$: $u-v=1$, $3u+v=11$; $4u=12$, $u=3$, $v=2$. Ответ: $(1;1)$.

4. Решите $\log_2x+\log_2y=5$, $x+y=12$. Решение: $xy=2^5=32$, $x+y=12$: корни $t^2-12t+32=0$ — $4$ и $8$. ОДЗ выполнена. Ответ: $(4;8)$, $(8;4)$.

5. Решите $3^{x+2}+2^{y+1}=5$, $3^{x+1}-2^{y+1}=1$. Решение: $u=3^x$, $v=2^{y+1}$: $9u+v=5$, $3u-v=1$, $u=v=0{,}5$. Тогда $x=\log_30{,}5$, $2^{y+1}=2^{-1}$, $y=-2$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Находят $u=a^x$ или $\sqrt x$ и не возвращаются к исходной переменной.
• $a^{x+y}=a^x+a^y$ — неверно.
• Не исключают решения, при которых аргумент логарифма $\le0$ или подкоренное выражение $<0$.
• Путают сумму логарифмов $\log_ax+\log_ay$ с логарифмом суммы $\log_a(x+y)$.
• Ошибаются в знаках при сложении уравнений.
• В симметрических системах записывают только одну пару, забывая переставленную: $(8;4)$ наряду с $(4;8)$.

Самопроверка

1. Какую замену удобно сделать в системе $2^x+3^y=11$, $2^x-3^y=5$? — $u=2^x$, $v=3^y$; ответ $(3;1)$.
2. Что даёт уравнение $\log_2x-\log_2y=1$? — $x=2y$.
3. Решите $\log_5x+\log_5y=2$, $x+y=26$. — $(1;25)$, $(25;1)$.
4. Какие новые переменные вводят в симметрической тригонометрической системе? — $u=x+y$, $v=x-y$.
5. Найдено $\sqrt y=3$. Чему равно $y$? — $9$.