Системы линейных уравнений с двумя переменными

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 6 класс, Атамұра, 2018, с. 179, 190, 193, 194, 201–203
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Амалбекова Л. Е. «Алгебра», 7 класс, Атамура, 2025, с. 101–105
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра. 9 класс», часть 1, 9 класс, Мектеп, 2019, с. 21–23, 26–30, 34, 35, 45–49

Главное

• Решение системы — упорядоченная пара $(x;y)$, обращающая каждое уравнение в верное равенство.
• $ax+by=c$ ($a$, $b$ не равны нулю одновременно) — линейное уравнение; его график — прямая.
• Две прямые: пересекаются — одно решение; параллельны — решений нет; совпадают — бесконечно много.
• Способы: подстановка, сложение, графический, введение новой переменной.
• При почленном умножении или делении уравнений возможны посторонние решения — проверка подстановкой обязательна.

Теория

Способ подстановки:

1. выразить из одного уравнения одну переменную через другую;
2. подставить во второе уравнение;
3. решить уравнение с одной переменной;
4. найти вторую переменную из выражения п. 1;
5. записать ответ парой.

Способ сложения: умножить уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, сложить почленно, решить, подставить в любое исходное уравнение. Если коэффициенты противоположны — складывают сразу; если равны — вычитают; если разные — домножают оба уравнения.

Графический способ: строят обе прямые (по двум точкам) и находят точку пересечения. Пример: $x-2y=2$ и $2x-4y=-4$ — прямые параллельны, решений нет; $x+2y=4$ и $3x+6y=12$ — одна и та же прямая, решений бесконечно много.

Нелинейные уравнения. Уравнение $F(x;y)=0$ имеет степень многочлена в левой части; всё, что не $ax+by=c$, — нелинейно ($xy=4$, $x^2+y=0$, $-65xy+35y=70$). Степень одночлена $2xy^2$ равна 3. Решений обычно бесконечно много, но бывает и конечное число: $x^2+(y^2-9)^2=0$ имеет два решения $(0;\pm3)$, $7x^2+8y^2=0$ — одно $(0;0)$; положительная сумма квадратов, равная нулю, решений не имеет. Графики — прямая, парабола, гипербола, окружность.

Система нелинейных уравнений — хотя бы одно уравнение не линейно. Решают теми же способами; новую переменную вводят, когда повторяется одно и то же выражение.

Текстовые задачи: вводят два неизвестных, составляют два уравнения, решают систему и отбирают решения по смыслу. В задачах на работу производительности при совместной работе складывают. В задачах на смеси масса вещества равна $\frac p{100}M$, концентрация — $\frac mM$.

Примеры

1. Решите $x-y=29$, $2x+7y=112$. Решение: $x=29+y$; $2(29+y)+7y=112$, $9y=54$, $y=6$, $x=35$. Ответ: $(35;6)$.

2. Решите $x+y=21$, $x-y=9$. Решение: сложение: $2x=30$, $x=15$, $y=6$. Ответ: $(15;6)$.

3. Сколько решений у системы $x+2y=4$, $3x+6y=12$? Решение: второе уравнение — первое, умноженное на 3; прямые совпадают — бесконечно много.

4. Решите $x+y=5$, $xy=6$. Решение: $y=5-x$, $x(5-x)=6$, $x^2-5x+6=0$, $x=2$ или $x=3$. Ответ: $(2;3)$, $(3;2)$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Подставляют выражение в то же уравнение, из которого его получили, и получают тождество.
• Меняют порядок в паре: пишут $(y;x)$; проверяют пару только в одном уравнении.
• Ошибаются в знаках при вычитании уравнений.
• Находят одну переменную и забывают вторую.
• Из $x^2=9$ берут только $x=3$ и теряют решение.
• Не проверяют решения после почленного умножения или деления уравнений.
• В задачах не отбрасывают решения без смысла (отрицательное время).

Самопроверка

1. Является ли $(7;11)$ решением системы $x-y=4$, $2(x+y)=36$? — Нет, решение $(11;7)$.
2. Сколько решений у системы с параллельными прямыми? — Ни одного.
3. Линейно ли уравнение $xy=4$? — Нет.
4. Решите $x=y+7$, $3x-2y=27$. — $(13;6)$.
5. Сколько решений имеет $7x^2+8y^2=0$? — Одно: $(0;0)$.