Показательные уравнения. Логарифмические уравнения.

Учебниковая опора

• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н. «Алгебра и начала анализа» (ЕМН), часть 2, 11 класс, Атамура, 2020, с. 5–7, 14–18, 24, 26, 27, 45–47, 55–57

Главное

• $y=a^x$ ($a>0,\ a\ne1$): $a^x>0$ при всех $x$; график проходит через $(0;1)$.
• $\log_ab=c\iff a^c=b$; логарифм существует только при $b>0$, $a>0$, $a\ne1$.
• $a^{\log_ab}=b$ — основное логарифмическое тождество.
• $a^x=b$: при $b>0$ корень $x=\log_ab$, при $b\le0$ корней нет.
• $\log_af(x)=\log_ag(x)\iff f(x)=g(x),\ f(x)>0,\ g(x)>0$ — ОДЗ обязательна.

Теория

Показательная функция $y=a^x$, $x\in\mathbb R$. Условия $a>0$, $a\ne1$ обязательны (при $a=1$ функция постоянна). При $a>1$ возрастает (например, $2^x$: точки $(0;1),(1;2),(-1;0{,}5)$), при $0

Логарифм. $\lg b=\log_{10}b$ — десятичный, $\ln b=\log_eb$ — натуральный. Функция $y=\log_ax$ определена при $x>0$, её график проходит через $(1;0)$, не пересекает $Oy$ и симметричен графику $y=a^x$ относительно прямой $y=x$.

Показательные уравнения (переменная в показателе). Методы:

• приведение к одному основанию: $a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)$;
• вынесение общего множителя (обычно степени с наименьшим показателем);
• замена $y=a^x$ ($y>0$) — получается квадратное уравнение; отрицательные $y$ отбрасывают.

Логарифмические уравнения. Простейшее $\log_ax=p$ имеет корень $x=a^p$. Методы:

• по определению: $\log_af(x)=p\Rightarrow f(x)=a^p$;
• приведение к виду $\log_af(x)=\log_ag(x)$ (потенцирование) с учётом ОДЗ;
• замена переменной (например, $t=\log_ax$). Найденные корни обязательно проверяют по ОДЗ или подстановкой.

Формулы / правила

Для $a>0$, $a\ne1$, $b>0$, $c>0$:

Свойство	Формула
Логарифм единицы и основания	$\log_a1=0,\ \log_aa=1$
Произведение	$\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac$
Частное	$\log_a\frac bc=\log_ab-\log_ac$
Степень	$\log_ab^m=m\log_ab$
Корень	$\log_a\sqrt[n]b=\frac1n\log_ab$
Новое основание	$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$
Перестановка	$\log_ab=\frac1{\log_ba}$
Цепочка	$\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac$

Знак: $\log_ab>0$, если $a$ и $b$ по одну сторону от 1, и $\log_ab<0$, если по разные.

Примеры

1. Решите $2^{x+1}=8$. Решение: $2^{x+1}=2^3$, $x+1=3$, $x=2$.

2. Решите $4^x-3\cdot2^x-4=0$. Решение: $y=2^x>0$: $y^2-3y-4=0$, $y=4$ или $y=-1$ (не подходит). $2^x=4$, $x=2$.

3. Решите $\log_2(x-1)=3$. Решение: $x-1=2^3$, $x=9$; проверка: $9-1>0$. Ответ: $9$.

4. Решите $\lg x+\lg(x-3)=1$. Решение: ОДЗ $x>3$. $\lg\bigl(x(x-3)\bigr)=\lg10$, $x^2-3x-10=0$, $x=5$ или $x=-2$. ОДЗ: только $x=5$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• $\log_a(b+c)=\log_ab+\log_ac$ — неверно.
• Ищут логарифм нуля или отрицательного числа.
• Путают основание и число под логарифмом.
• После замены $y=a^x$ оставляют отрицательное $y$.
• В показательных уравнениях возводят слагаемые в степень по отдельности, а не приводят к одному основанию.
• Не проверяют ОДЗ и включают посторонние корни (как $x=-2$ в примере 4).
• Считают, что график $a^x$ пересекает ось $Ox$; путают возрастание и убывание при $0

Самопроверка

1. Чему равно $\log_381$? — $4$.
2. Вычислите $5^{\log_57}$. — $7$.
3. Сколько корней у $3^x=-9$? — Ни одного.
4. Чему равно $\log_23\cdot\log_38$? — $\log_28=3$.
5. Решите $\log_5x=\log_5(2x-3)$. — $x=3$.