Тригонометрические уравнения. Иррациональные уравнения.

Учебниковая опора

• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра и начала анализа. 10 класс ЕМН», 10 класс, Мектеп, 2019, с. 65–84, 91–96
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н. «Алгебра и начала анализа» (ЕМН), часть 1, 11 класс, Атамура, 2020, с. 132–137

Главное

• $\sin x=a$ и $\cos x=a$ при $|a|>1$ решений не имеют; $\operatorname{tg}x=a$, $\operatorname{ctg}x=a$ решаются при любом $a$.
• Основные методы: замена $t=\sin x$ (или $\cos x$, $\operatorname{tg}x$), разложение на множители, деление однородного уравнения на $\cos x$ или $\cos^2x$.
• Иррациональное уравнение — переменная под знаком корня.
• $\sqrt[n]{g(x)}=h(x)$ при чётном $n$ $\iff$ $g(x)=h(x)^n$ и $h(x)\ge0$.
• Возведение в чётную степень может дать посторонние корни — проверка обязательна.

Теория

Простейшие тригонометрические уравнения ($k\in\mathbb Z$): $\sin x=a:\ x=(-1)^k\arcsin a+\pi k;\qquad \cos x=a:\ x=\pm\arccos a+2\pi k\qquad(|a|\le1);$ $\operatorname{tg}x=a:\ x=\operatorname{arctg}a+\pi k;\qquad \operatorname{ctg}x=a:\ x=\operatorname{arcctg}a+\pi k.$

Уравнение	$=0$	$=1$	$=-1$
$\sin x$	$\pi k$	$\frac\pi2+2\pi k$	$-\frac\pi2+2\pi k$
$\cos x$	$\frac\pi2+\pi k$	$2\pi k$	$\pi+2\pi k$

Сведение к квадратному. Уравнение приводят к одной функции (через $\sin^2x=1-\cos^2x$ и наоборот), делают замену $t=\sin x$ ($|t|\le1$) или $t=\operatorname{tg}x$ ($t\in\mathbb R$), решают $at^2+bt+c=0$, отбрасывают $|t|>1$ для синуса и косинуса, затем обратная замена.

Разложение на множители: вынесение общего множителя, группировка, формулы суммы и разности ($\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$ и др.). Переходя к совокупности, следят за ОДЗ (например, чтобы тангенс был определён).

Однородные уравнения.

• $a\sin x+b\cos x=0$: если $\cos x=0$, то и $\sin x=0$ — противоречие с $\sin^2x+\cos^2x=1$, значит деление на $\cos x$ корней не теряет: $\operatorname{tg}x=-\frac ba$.
• $a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$: делят на $\cos^2x$ и получают $a\operatorname{tg}^2x+b\operatorname{tg}x+c=0$.
• Если справа стоит $d\ne0$, его заменяют на $d(\sin^2x+\cos^2x)$ и получают однородное уравнение.

Иррациональные уравнения. ОДЗ: подкоренные выражения корней чётной степени неотрицательны. Уравнение $x^2-\sqrt3+\sqrt5=\sqrt7$ иррациональным не является — переменной под корнем нет.

Метод возведения в степень: при чётном $n$ $\sqrt[n]{g(x)}=h(x)\iff\begin{cases}g(x)=h(x)^n,\\ h(x)\ge0;\end{cases}$ при нечётном $n$ — просто $g(x)=h(x)^n$. Если корней несколько, возведение повторяют. Проверку делают по исходному уравнению.

Замена переменной: повторяющееся выражение (например, $\sqrt x$) обозначают $t$, учитывая ограничение $t\ge0$; решают рациональное уравнение и возвращаются к $x$.

Примеры

1. Решите $\cos x=-\frac12$. Решение: $x=\pm\arccos\left(-\frac12\right)+2\pi k=\pm\frac{2\pi}3+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

2. Решите $2\sin^2x-\sin x-1=0$. Решение: $t=\sin x$: $2t^2-t-1=0$, $t=1$ или $t=-\frac12$. $\sin x=1\Rightarrow x=\frac\pi2+2\pi k$; $\sin x=-\frac12\Rightarrow x=(-1)^{k+1}\frac\pi6+\pi k$.

3. Решите $\sin x-\sqrt3\cos x=0$. Решение: делим на $\cos x$: $\operatorname{tg}x=\sqrt3$, $x=\frac\pi3+\pi k$.

4. Решите $\sqrt{x+2}=x$. Решение: $x\ge0$, $x+2=x^2$, $x^2-x-2=0$, $x=2$ или $x=-1$. Условию $x\ge0$ удовлетворяет только $x=2$. Ответ: $2$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Ищут решения $\sin x=a$ при $|a|>1$ или оставляют корень $t=2$ после замены $t=\cos x$.
• Путают формулы: у косинуса $\pm\arccos a+2\pi k$, у синуса $(-1)^k\arcsin a+\pi k$.
• Для $\cos x=0$ пишут $2\pi k$ вместо $\frac\pi2+\pi k$.
• Забывают условие $h(x)\ge0$ и включают посторонний корень.
• Проверяют корни по промежуточному, а не исходному уравнению.
• $(1+\sqrt u)^2=1+u$ — потеряно удвоенное произведение.
• Не учитывают ограничение $t=\sqrt x\ge0$ при замене.

Самопроверка

1. Решите $\operatorname{tg}x=1$. — $x=\frac\pi4+\pi k$.
2. Есть ли решения у $\sin x=1{,}5$? — Нет.
3. На что делят уравнение $3\sin^2x-4\sin x\cos x+\cos^2x=0$? — На $\cos^2x$.
4. Решите $\sqrt{x-2}=0$. — $x=2$.
5. Решите $\sqrt[3]{x-1}=2$. — $x=9$.