Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Дробно-рациональные уравнения.

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 6 класс, Атамұра, 2018, с. 10–12
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т., Корчевский В., Жумагулова З. «Алгебра», 8 класс, Мектеп, 2018, с. 53–57, 59, 62–67, 72–74, 85–87, 93, 94, 96

Главное

• $ax+b=0$: при $a\ne0$ один корень $x=-\dfrac ba$; при $a=0,\ b\ne0$ корней нет; при $a=0,\ b=0$ — любое число.
• $D=b^2-4ac$: $D>0$ — два корня, $D=0$ — два равных корня, $D<0$ — действительных корней нет.
• Виета: для $x^2+px+q=0$ $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$.
• Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
• Корни, обращающие знаменатель в нуль, — посторонние.

Теория

Линейное уравнение $ax+b=0$. Алгоритм: перенести слагаемые с $x$ влево, числа вправо; привести подобные; разделить на коэффициент при $x$ (с учётом знака).

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$. Приведённое — $x^2+px+q=0$; любое уравнение приводится делением на $a$.

Неполные (хотя бы один из $b$, $c$ равен 0):

• $ax^2+c=0$: при $-\dfrac ca>0$ корни $x=\pm\sqrt{-\dfrac ca}$, при $-\dfrac ca<0$ корней нет;
• $ax^2+bx=0$: $x(ax+b)=0$, корни $0$ и $-\dfrac ba$;
• $ax^2=0$: единственный корень $0$.

Полное уравнение: $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a},\qquad D=b^2-4ac.$ При чётном втором коэффициенте ($ax^2+2kx+c=0$): $x_{1,2}=\dfrac{-k\pm\sqrt{D_1}}a$, $D_1=k^2-ac$. Дробные коэффициенты удобно сначала сделать целыми, умножив уравнение на число.

Теорема Виета. Для $ax^2+bx+c=0$: $x_1+x_2=-\dfrac ba$, $x_1x_2=\dfrac ca$. Обратная теорема: если сумма двух чисел $-p$, а произведение $q$, то они — корни $x^2+px+q=0$; это позволяет подбирать корни устно и составлять уравнение по корням.

Дробно-рациональное уравнение $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0$. Алгоритм:

1. найти допустимые значения переменной (знаменатели $\ne0$);
2. найти общий знаменатель и умножить на дополнительные множители;
3. приравнять числители — получить целое уравнение и решить его;
4. исключить посторонние корни.

Введение новой переменной. Повторяющееся выражение заменяют буквой. Биквадратное $ax^4+bx^2+c=0$ решают заменой $y=x^2$; значения $y<0$ корней для $x$ не дают. Уравнение $x^2+2x-\dfrac6{x^2+2x}=-5$ при $y=x^2+2x$ даёт $y^2+5y-6=0$.

Формулы

Что	Формула
Дискриминант	$D=b^2-4ac$
Корни	$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$
Чётный $b=2k$	$x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}a$
Виета	$x_1+x_2=-\frac ba,\ x_1x_2=\frac ca$
Двойной корень	$x=-\frac b{2a}$ при $D=0$

Примеры

1. Решите $x^4-13x^2+36=0$. Решение: $y=x^2$: $y^2-13y+36=0$, $y_1=9$, $y_2=4$. Ответ: $\pm3;\ \pm2$.

2. Не решая уравнение $x^2-7x+10=0$, найдите корни подбором. Решение: $x_1+x_2=7$, $x_1x_2=10$ — это $2$ и $5$.

3. Решите $\dfrac{x^2-4}{x-2}=0$. Решение: ОДЗ $x\ne2$. Числитель: $x=\pm2$; $x=2$ — посторонний. Ответ: $-2$.

4. Решите $3x^2-12x=0$. Решение: $3x(x-4)=0$, $x=0$ или $x=4$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Из $0\cdot x=2$ пишут «$x=0$» — корней нет.
• Из $-4x=-48$ получают $x=-12$ (верно $12$).
• При $D=0$ пишут «корней нет».
• В формуле корней берут $+b$ вместо $-b$; путают знак $c$ в $D$.
• Виета: $x_1+x_2=p$ вместо $-p$; применяют к неприведённому уравнению без деления на $a$.
• Теряют корень $x=0$ в $ax^2+bx=0$ или отрицательный корень из $x^2=9$.
• Включают посторонний корень в ответ дробного уравнения.
• Оставляют ответ через новую переменную $y$.

Самопроверка

1. Сколько корней у $x^2+4x+5=0$? — Ни одного: $D=16-20<0$.
2. Корни уравнения $x^2-16=0$? — $\pm4$.
3. Сумма и произведение корней $2x^2-6x+1=0$? — $3$ и $\dfrac12$.
4. При каком условии $ax+b=0$ имеет бесконечно много корней? — $a=0$ и $b=0$.
5. Решите $\dfrac{x}{x-1}=\dfrac1{x-1}$. — Корней нет ($x=1$ — посторонний).