Алгебраические выражения и их преобразования. Формулы. Формулы сокращенного умножения

Учебниковая опора

• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Амалбекова Л. Е. «Алгебра», 7 класс, Атамура, 2025, с. 64, 66–68, 70, 71, 136, 137, 143, 149, 157–160, 184, 185
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Амалбекова Л. Е. «Алгебра», 7 класс, Атамура, 2025, с. 153, 154

Главное

• $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$; $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
• Способы разложения на множители: вынесение общего множителя, группировка, формулы сокращённого умножения. Начинают обычно с вынесения общего множителя.
• Целое выражение — без деления на выражение с переменными; его всегда можно записать многочленом.
• При возведении дроби в степень возводят и числитель, и знаменатель: $\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$.

Теория

Умножение многочленов. Каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого и складывают; из $n$ и $m$ членов до приведения подобных получается $n\cdot m$ членов: $(m-n)(a+b-c)=ma-na+mb-nb-mc+nc$.

Квадрат суммы и разности. Квадрат суммы равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение, плюс квадрат второго. Формулы работают в обе стороны:

• прямо — для быстрого счёта: $51^2=(50+1)^2=2601$, $79^2=(80-1)^2=6241$;
• обратно — для разложения: $9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b)^2$, $100+40p+4p^2=(10+2p)^2$.

Разность квадратов: $(4-5a)(4+5a)=16-25a^2$; $64-x^2=(8-x)(8+x)$.

Вынесение общего множителя: берут НОД коэффициентов и переменные с наименьшими показателями: $12a^3b-18ab^2-30ab^4=6ab(2a^2-3b-5b^3)$. Приём $7-2b=-(2b-7)$ помогает увидеть общий множитель: $3x(2b-7)+4b(7-2b)=(2b-7)(3x-4b)$.

Группировка: $ac-bc+ad-bd=c(a-b)+d(a-b)=(a-b)(c+d)$.

Комбинация приёмов: $9a^2+12ab+4b^2-4c^2=(3a+2b)^2-(2c)^2=(3a+2b-2c)(3a+2b+2c)$; $5a^2-5b^2=5(a-b)(a+b)$.

Полезные тождества: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)=a^4-b^4$; $(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$; $(a-b)^2+4ab=(a+b)^2$. Выделение полного квадрата доказывает знак: $x^2-4x+7=(x-2)^2+3>0$ при любом $x$.

Алгебраические дроби: перед умножением и делением числители и знаменатели раскладывают на множители и сокращают: $\dfrac{x-a}{x+a}\cdot\dfrac{x^2-a^2}{x-a}=x-a$; $\dfrac{a^2}{4b^3}\cdot\dfrac{6b}{a^3}=\dfrac3{2ab^2}$.

Куб суммы и куб разности: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$; $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

Формулы

Название	Формула
Квадрат суммы	$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Квадрат разности	$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Разность квадратов	$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Сумма кубов	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Разность кубов	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Степень дроби	$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

Примеры

1. Разложите на множители $(m+2n)^2-(3m+4n)^2$. Решение: $(m+2n-3m-4n)(m+2n+3m+4n)=(-2m-2n)(4m+6n)=-4(m+n)(2m+3n)$.

2. Упростите $(2x-3y)(2x+3y)+9y^2-x$. Решение: $4x^2-9y^2+9y^2-x=4x^2-x$.

3. Сократите $\dfrac{x^2-9}{x-3}$. Решение: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ при $x\ne3$.

4. Вычислите $79^2$ без калькулятора. Решение: $(80-1)^2=6400-160+1=6241$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• $(a+b)^2=a^2+b^2$ — потеряно удвоенное произведение.
• $(2a+b)^2$: пишут $2ab$ вместо $4ab$.
• $(a-b)(a+b)=a^2+b^2$ или $a^2-b^2=(a-b)^2$.
• $(4-5a)(4+5a)=16-5a^2$ — второй член не возведён в квадрат.
• Сумму квадратов $a^2+b^2$ пытаются разложить по формуле.
• Не выносят общий множитель перед применением формулы.
• Выносят переменную с наибольшим, а не наименьшим показателем.
• «Сокращают» $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ до $x^2-3$.

Самопроверка

1. Разложите $9x^2y-21y^2$. — $3y(3x^2-7y)$.
2. Чему равно $(a+b)(a^2-ab+b^2)$? — $a^3+b^3$.
3. Разложите $a^3-8$. — $(a-2)(a^2+2a+4)$.
4. Упростите $(a+b)^2-4ab$. — $(a-b)^2$.
5. Возведите в квадрат дробь $\dfrac{2a}{3b}$. — $\dfrac{4a^2}{9b^2}$.