Действия со степенями.

Учебниковая опора

• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Амалбекова Л. Е. «Алгебра», 7 класс, Атамура, 2025, с. 17–20, 24, 26, 30, 31, 33
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н. «Алгебра и начала анализа» (ЕМН), часть 1, 11 класс, Атамура, 2020, с. 107–110

Главное

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при делении — вычитают, при возведении степени в степень — перемножают.
• $a^0=1$ при $a\ne0$; $0^0$ не имеет смысла.
• $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$ ($a\ne0$): число переносят из знаменателя в числитель, меняя знак показателя.
• $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$ при $a>0$.
• Свойства степени с рациональным показателем требуют положительных оснований.

Теория

Натуральный показатель. Для любых $a,b$ и натуральных $n,m$: $a^na^m=a^{n+m},\quad a^n:a^m=a^{n-m},\quad (a^n)^m=a^{nm},\quad (ab)^n=a^nb^n,\quad \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ (b\ne0).$ При возведении в степень произведения в степень возводят каждый множитель: $(3ax)^3=27a^3x^3$. Эти правила позволяют «свёртывать» произведение степеней в одну степень и «разворачивать» обратно.

Нулевой и отрицательный показатель. $a^0=1$ ($a\ne0$). $(-n)$-й степенью числа $a\ne0$ называют число, обратное $n$-й степени: $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$. Например, $10^{-3}=\dfrac1{10^3}$, $5^{-2}=\dfrac1{25}$, $\left(\dfrac12\right)^{-1}=2$. Степени нуля с отрицательным показателем не существует. Все свойства натуральных степеней верны для любых целых показателей при $a\ne0,\ b\ne0$.

Рациональный показатель. Пусть $a>0$, $r=\dfrac mn$ ($m$ — целое, $n$ — натуральное). Тогда $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}.$ Если $r>0$, то $0^r=0$; выражения $0^r$ при $r\le0$ не рассматриваются, как и дробные степени отрицательных чисел. Значение не зависит от записи показателя: $a^{\frac12}=a^{\frac24}$, поэтому дробь в показателе удобно сокращать.

Для $a>0,\ b>0$ и рациональных $p,q$ верны те же пять свойств: $a^pa^q=a^{p+q}$, $a^p:a^q=a^{p-q}$, $(a^p)^q=a^{pq}$, $(ab)^p=a^pb^p$, $\left(\dfrac ab\right)^p=\dfrac{a^p}{b^p}$. Отсюда $a^{-p}=\dfrac1{a^p}$, так как $a^p\cdot a^{-p}=a^0=1$.

Упрощение выражений. Коэффициенты и буквенные множители упрощают отдельно; если в ответе получился отрицательный показатель, результат записывают дробью: $a^{-2}=\dfrac1{a^2}$.

Формулы / правила

Правило	Формула
Умножение	$a^pa^q=a^{p+q}$
Деление	$a^p:a^q=a^{p-q}$
Степень степени	$(a^p)^q=a^{pq}$
Степень произведения	$(ab)^p=a^pb^p$
Степень частного	$(a/b)^p=a^p/b^p$
Нулевая степень	$a^0=1,\ a\ne0$
Отрицательная степень	$a^{-n}=1/a^n$
Дробная степень	$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m},\ a>0$

Примеры

1. Вычислите $\dfrac{2^{-3}\cdot2^{5}}{2^{-1}}$. Решение: $2^{-3+5-(-1)}=2^3=8$.

2. Упростите $(3ax)^3$. Решение: $3^3a^3x^3=27a^3x^3$.

3. Вычислите $8^{\frac23}$. Решение: $8^{\frac23}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$ (или $(8^{1/3})^2=2^2=4$).

4. Упростите $\left(a^{\frac12}\right)^4\cdot a^{-1}$ ($a>0$). Решение: $a^{2}\cdot a^{-1}=a$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• $(2a)^3=2a^3$ — в степень возводят не только первый множитель; верно $8a^3$.
• $(a^3)^4=a^7$ — при степени степени показатели перемножают: $a^{12}$.
• При делении показатели складывают вместо вычитания.
• $a^0=0$ — неверно, $a^0=1$.
• $3^{-2}=-9$ — неверно, $3^{-2}=\dfrac19$.
• $a^{\frac mn}=a^m/a^n$ — неверно.
• Складывают основания вместо показателей: $2^3\cdot3^3\ne5^6$; верно $(2\cdot3)^3=6^3$.
• Ответ оставляют в виде $a^{-3}b^2$, хотя нужно $\dfrac{b^2}{a^3}$.

Самопроверка

1. Чему равно $\left(\dfrac12\right)^{-1}$? — $2$.
2. Упростите $a^5:a^{-2}$. — $a^7$.
3. Вычислите $27^{\frac13}$. — $3$.
4. Чему равно $(-5)^0$? — $1$.
5. Запишите $\sqrt[4]{a^3}$ в виде степени. — $a^{\frac34}$.