Действия с радикалами. Числовые и буквенные выражения. Дробные и целые выражения.

Учебниковая опора

• Абылкасымова А. Е., Кучер Т., Корчевский В., Жумагулова З. «Алгебра», 8 класс, Мектеп, 2018, с. 28–31, 36–38, 40
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н. «Алгебра и начала анализа» (ЕМН), часть 1, 11 класс, Атамура, 2020, с. 102–104, 114–116
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Амалбекова Л. Е. «Алгебра», 7 класс, Атамура, 2025, с. 171, 177, 178, 184, 185

Главное

• $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ при $a\ge0,\ b\ge0$; $\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ при $a\ge0,\ b>0$.
• Для любого $x$: $\sqrt{x^2}=|x|$ — главный источник ловушек.
• Корень из суммы не равен сумме корней: $\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$.
• Иррациональность в знаменателе убирают умножением на сопряжённое выражение: $(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b$.
• Алгебраическую дробь можно сокращать только на общий множитель, а не на слагаемое.

Теория

Квадратный корень. Три теоремы (8 класс):

1. $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ ($a\ge0,\ b\ge0$); верно и для трёх и более множителей.
2. $\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ ($a\ge0,\ b>0$).
3. $\sqrt{x^2}=|x|$; при неотрицательном подкоренном выражении $\sqrt{a^{2n}}=a^n$, например $\sqrt{2^6\cdot3^4\cdot17^2}=2^3\cdot3^2\cdot17=1224$.

Вынесение множителя из-под корня: выделяют множитель, из которого корень извлекается точно: $\sqrt{72a}=\sqrt{36\cdot2a}=6\sqrt{2a}$, $\sqrt{50n^3}=5n\sqrt{2n}$ ($n\ge0$), $\sqrt{49m^5n^6}=7m^2n^3\sqrt m$. Для буквы: $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b$.

Внесение множителя под корень — обратная операция: $4\sqrt3=\sqrt{48}$, $3\sqrt2=\sqrt{18}$. Это удобно для сравнения: $5\sqrt3=\sqrt{75}$, $3\sqrt5=\sqrt{45}$, значит $5\sqrt3>3\sqrt5$. Отрицательный множитель под корень не вносится: $-3\sqrt2=-\sqrt{18}$.

Освобождение от иррациональности в знаменателе: $\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}$; $\dfrac4{\sqrt{11}-\sqrt7}=\dfrac{4(\sqrt{11}+\sqrt7)}{11-7}=\sqrt{11}+\sqrt7$.

Корень n-й степени (для неотрицательных подкоренных выражений):

1. $(\sqrt[n]a)^n=a$; 2. $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\cdot\sqrt[n]b$; 3. $(\sqrt[n]a)^k=\sqrt[n]{a^k}$;
2. $\sqrt[n]{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}$ ($b>0$); 5. $\sqrt[m]{\sqrt[n]a}=\sqrt[mn]a$; 6. $\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$.

Свойство 6 позволяет приводить корни к общему показателю.

Сложный радикал. Если $a>0,\ b>0,\ a^2>b$: $\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}.$ На практике чаще выделяют полный квадрат: подкоренное выражение записывают как $(u\pm v)^2$, а потом $\sqrt{(u-v)^2}=|u-v|$.

Дробные выражения. Основное свойство дроби: $\dfrac ab=\dfrac{ac}{bc}$ ($b\ne0,\ c\ne0$). Если сменить знак числителя или знаменателя, меняется знак дроби: $\dfrac{4-a^2}{ac-2c}=-\dfrac{a+2}{c}$.

Формулы / правила

Действие	Правило
Сложение	$\dfrac ac\pm\dfrac bc=\dfrac{a\pm b}c$; $\dfrac ab+\dfrac cd=\dfrac{ad+bc}{bd}$
Умножение	$\dfrac ab\cdot\dfrac mn=\dfrac{am}{bn}$
Деление	$\dfrac ab:\dfrac mn=\dfrac{an}{bm}$ (переворачивают делитель)
Степень	$\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$

Перед умножением числители и знаменатели раскладывают на множители и сокращают.

Примеры

1. Упростите $\sqrt{2^6\cdot3^4\cdot17^2}$. Решение: $2^3\cdot3^2\cdot17=8\cdot9\cdot17=1224$.

2. Что больше: $5\sqrt3$ или $3\sqrt5$? Решение: $\sqrt{75}>\sqrt{45}$, значит $5\sqrt3>3\sqrt5$.

3. Освободите знаменатель от иррациональности: $\dfrac4{\sqrt{11}-\sqrt7}$. Решение: умножаем на $\sqrt{11}+\sqrt7$: $\dfrac{4(\sqrt{11}+\sqrt7)}{4}=\sqrt{11}+\sqrt7$.

4. Упростите $\dfrac{a^2+9}{5a-15}-\dfrac{6a}{5a-15}$. Решение: $\dfrac{a^2-6a+9}{5a-15}=\dfrac{(a-3)^2}{5(a-3)}=\dfrac{a-3}5$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• $\sqrt{(x-3)^2}=x-3$ без модуля — неверно при $x<3$.
• $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$ — неверно.
• Вынесение «неточного» множителя: $\sqrt{12}=3\sqrt4$ (верно $2\sqrt3$).
• Внесение отрицательного множителя под корень с потерей знака.
• Умножение знаменателя $\sqrt5+2$ на $\sqrt5+2$ вместо сопряжённого $\sqrt5-2$; домножение только знаменателя.
• $\dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac1{x+y}$ — знаменатели не складывают.
• «Сокращение» слагаемых: в $\dfrac{a+3}{a+5}$ ничего не сокращается.
• При делении переворачивают делимое вместо делителя.

Самопроверка

1. Чему равно $\sqrt{49m^5n^6}$ при $m\ge0$? — $7m^2n^3\sqrt m$.
2. Упростите $\sqrt[6]{a^4}$ ($a\ge0$). — $\sqrt[3]{a^2}$ (свойство 6).
3. Внесите множитель под корень: $4\sqrt3$. — $\sqrt{48}$.
4. Упростите $\dfrac{x-a}{x+a}\cdot\dfrac{x^2-a^2}{x-a}$. — $x-a$.
5. Упростите $\dfrac{a^2-9}{3y}:(a+3)$. — $\dfrac{a-3}{3y}$.