Тригонометрия.

Учебниковая опора

• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра. 9 класс», часть 2, 9 класс, Мектеп, 2019, с. 4–8, 12–18, 26–32, 45–50, 56–71, 76–86
• Смирнов В. А., Туяков Е. А. «Геометрия. 8 класс», 8 класс, Мектеп, 2018, с. 57, 58, 72–76
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра и начала анализа. 10 класс ЕМН», 10 класс, Мектеп, 2019, с. 53–60

Главное

• $1$ рад — центральный угол, опирающийся на дугу длиной в радиус; $\pi$ рад $=180^\circ$.
• На единичной окружности $\sin\alpha=y$, $\cos\alpha=x$, $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac yx$, $\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac xy$.
• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ — основное тождество.
• Косинус чётный, синус, тангенс и котангенс нечётные; период $\sin,\cos$ — $2\pi$, $\operatorname{tg},\operatorname{ctg}$ — $\pi$.
• Формулы приведения: у $\pi\pm\alpha$, $2\pi\pm\alpha$ имя функции сохраняется, у $\dfrac\pi2\pm\alpha$, $\dfrac{3\pi}2\pm\alpha$ — меняется; знак — по исходной функции в четверти.

Теория

Радианная мера. $\alpha=\dfrac lR$ (длина дуги к радиусу) — безразмерное число. Полный угол $2\pi$ рад, развёрнутый — $\pi$ рад. Перевод: $\alpha\text{ рад}=\frac{\pi}{180^\circ}\cdot\alpha^\circ,\qquad \alpha^\circ=\frac{180^\circ}{\pi}\cdot\alpha\text{ рад},\qquad 1\text{ рад}=57^\circ17'45''.$ $30^\circ=\frac\pi6$, $45^\circ=\frac\pi4$, $60^\circ=\frac\pi3$, $90^\circ=\frac\pi2$, $120^\circ=\frac{2\pi}3$, $135^\circ=\frac{3\pi}4$, $150^\circ=\frac{5\pi}6$, $270^\circ=\frac{3\pi}2$.

Определения. При повороте начального радиуса на угол $\alpha$ точка $B(x;y)$: $\sin\alpha=\frac yR$, $\cos\alpha=\frac xR$. Отношения не зависят от радиуса, поэтому берут $R=1$. Тангенс не определён при $x=0$, котангенс — при $y=0$.

Знаки по четвертям: $\sin>0$ в I, II; $\cos>0$ в I, IV; $\operatorname{tg},\operatorname{ctg}>0$ в I, III.

Значения ($30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$): $\sin$: $\frac12,\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt3}2$; $\cos$: $\frac{\sqrt3}2,\frac{\sqrt2}2,\frac12$; $\operatorname{tg}$: $\frac{\sqrt3}3, 1, \sqrt3$.

Тождества: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$, $1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}$, $1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}$ (последние два — деление основного тождества на $\cos^2\alpha$ и $\sin^2\alpha$).

Обратные функции. $\arcsin a$ ($a\in[-1;1]$) — угол из $\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right]$, синус которого $a$; $\arccos a$ — угол из $[0;\pi]$; $\operatorname{arctg}a\in\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)$, $\operatorname{arcctg}a\in(0;\pi)$ — для любых $a$. $\arcsin(-a)=-\arcsin a$, $\arccos(-a)=\pi-\arccos a$, $\operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a$, $\operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg}a$; $\arcsin a+\arccos a=\frac\pi2$.

Формулы

Сложение: $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta,\qquad \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,$ $\operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta}{1\mp\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}.$ Двойной угол: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1$. Понижение степени: $\sin^2\alpha=\frac12(1-\cos2\alpha)$, $\cos^2\alpha=\frac12(1+\cos2\alpha)$. Половинный угол: $\left|\sin\frac\alpha2\right|=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}2}$, $\left|\cos\frac\alpha2\right|=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}2}$, $\operatorname{tg}\frac\alpha2=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$ (знак — по четверти угла $\frac\alpha2$). Сумма в произведение: $\sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\frac{\alpha\pm\beta}2\cos\frac{\alpha\mp\beta}2,\quad \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2,\quad \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2.$ Произведение в сумму: $\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$, $\cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$, $\sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$. Приведение (примеры): $\sin\left(\frac\pi2+\alpha\right)=\cos\alpha$, $\cos\left(\frac\pi2+\alpha\right)=-\sin\alpha$, $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$, $\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha$.

Примеры

1. Переведите $150^\circ$ в радианы. Решение: $\frac{\pi}{180}\cdot150=\frac{5\pi}6$.

2. Найдите $\cos120^\circ$. Решение: $\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos60^\circ=-\frac12$ (имя не меняется, во II четверти косинус отрицателен).

3. $\sin\alpha=\frac35$, $\alpha$ во II четверти. Найдите $\sin2\alpha$. Решение: $\cos\alpha=-\sqrt{1-\frac9{25}}=-\frac45$; $\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right)=-\frac{24}{25}$.

4. Вычислите $\arccos\left(-\frac12\right)$. Решение: $\pi-\arccos\frac12=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}3$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Множитель $\frac\pi{180}$ ставят при переводе из радиан в градусы (нужно $\frac{180}\pi$).
• Путают: $\cos\alpha=x$, $\sin\alpha=y$, а не наоборот.
• $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1$ вместо $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
• В $\cos(\alpha+\beta)$ ставят «плюс» между произведениями.
• В формулах приведения меняют имя функции у углов $180^\circ\pm\alpha$; знак берут по углу $\alpha$, а не по исходному углу.
• Считают синус чётной функцией; путают период тангенса $\pi$ с $2\pi$.
• Теряют «минус» в формуле $\cos\alpha-\cos\beta$.
• $\arccos(-a)=-\arccos a$ — неверно, $\pi-\arccos a$.

Самопроверка

1. В каких четвертях $\operatorname{tg}\alpha<0$? — Во II и IV.
2. Упростите $\sin\left(\frac\pi2+\alpha\right)$. — $\cos\alpha$.
3. Чему равен $1-2\sin^2 15^\circ$? — $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}2$.
4. Чему равно $\arcsin a+\arccos a$? — $\frac\pi2$.
5. Наименьший период $y=\operatorname{tg}x$? — $\pi$.