Есептеу жүйелері

Оқулықтық тірек

• Қадырқұлов Р. Ә., Нұрмұханбетова Г. К. «Информатика. ЖМБ 10-сынып», 10-сынып, Алматыкітап баспасы, 2019, 56–60-беттер (§ 8)
• Қадырқұлов Р. А., Нұрмұханбетова Г. К. «Информатика», 5-сынып, Алматыкітап баспасы, 2023, 19–22, 29-беттер
• Wikipedia, Двоичная система счисления: https://ru.wikipedia.org/wiki/Двоичная_система_счисления ; Binary number: https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_number
• Wikipedia, Римские цифры: https://ru.wikipedia.org/wiki/Римские_цифры ; Roman numerals: https://en.wikipedia.org/wiki/Roman_numerals

Негізгі ұғымдар

• Позициялық санау жүйесі — цифрдың мәні оның сандағы орнына (разрядына) тәуелді.
• Негіз $q$ — жүйеде қолданылатын цифрлар саны; цифрлар $0$-ден $q-1$-ге дейін.
• Негізгі жүйелер: ондық (0–9), екілік (0, 1), сегіздік (0–7), он алтылық (0–9, A–F).
• Ондықтан $q$-ға: $q$-ға бірізді бөлу, қалдықтарды кері ретпен жазу.
• $q$-дан ондыққа: разрядтар бойынша жаймасы.
• $8 = 2^3$ → триада (3 бит), $16 = 2^4$ → тетрада (4 бит).

Теория

Алфавиттер.

Жүйе	Негіз	Алфавит
Екілік	2	0, 1
Сегіздік	8	0–7
Ондық	10	0–9
Он алтылық	16	0–9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)

Екілік жүйе — компьютер архитектурасының негізі: компьютерде барлық ақпарат 0 және 1 арқылы беріледі.

Ондық бүтін санды $q$ негізді жүйеге аудару. Санды бөлінді $q$-дан кіші болғанша $q$-ға бірізді бөлеміз. Қалдықтарды соңғы бөліндіден бастап кері ретпен жазамыз.

Кез келген жүйеден ондыққа аудару. Санды разрядтары бойынша жаямыз: $N = d_k q^k + d_{k-1} q^{k-1} + \dots + d_1 q^1 + d_0 q^0,$ мұнда $d_i$ — разряд цифры, $q$ — негіз. Разрядтар оңнан солға қарай $0$-ден бастап нөмірленеді.

2 ↔ 8 ↔ 16 тікелей аудару. Екілік санды оңнан солға қарай 3 разрядтан (триада) бөліп, әр топты бір сегіздік цифрмен, немесе 4 разрядтан (тетрада) бөліп, бір он алтылық цифрмен алмастырамыз. Сол жақ шеткі топ жетпесе, алдына нөлдер қосылады. Кері аудару — әр цифрды 3 немесе 4 битке жаю.

16-лық	2-лік тетрада	16-лық	2-лік тетрада
0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	A	1010
3	0011	B	1011
4	0100	C	1100
5	0101	D	1101
6	0110	E	1110
7	0111	F	1111

Разряд саны мен комбинациялар. $n$ разрядты екілік код $2^n$ түрлі мән береді: 2 разряд — 4 (00, 01, 10, 11), 8 разряд — 256. Сондықтан 8 разрядты екілік сан $0$-ден $255$-ке дейінгі мәндерді сақтайды.

Python-да тексеру. Кіріктірілген функциялар аударуды тексеруге ыңғайлы:

n = 43
print(bin(n))        # 0b101011
print(oct(n))        # 0o53
print(hex(n))        # 0x2b
print(int('2F', 16)) # 47
print(int('101011', 2))  # 43

# Бөлу әдісі: қалдықтарды кері ретпен жинау
def to_base(n, q):
    digits = '0123456789ABCDEF'
    s = ''
    while n > 0:
        s = digits[n % q] + s
        n //= q
    return s or '0'

print(to_base(43, 2))   # 101011

Формулалар / ережелер

• $N_{10} = \sum d_i \cdot q^i$.
• Цифр $d < q$ болуы шарт: мысалы, сегіздікте 8 және 9 цифры жоқ.
• $n$ битпен $2^n$ мән; ең үлкені $2^n - 1$.

Екілік арифметика, бөлшекті аудару, рим жүйесі

• Екілік қосу: $0+0=0$, $0+1=1$, $1+1=10_2$ (0 жазылады, 1 келесі разрядқа ауысады). Мысалы, $1110_2+101_2=10011_2$.
• Екілік азайту: $0-1$ кезінде үлкен разрядтан бір алынады. Көбейту: $1\cdot1=1$, қалғаны 0.
• Ондық бөлшекті екілікке: бөлшекті 2-ге көбейтеміз, бүтін бөлігі — кезекті цифр; бөлшек бөлігін қайта көбейтеміз. Бөлшек нөлге тең болғанда немесе қажетті дәлдікке жеткенде тоқтаймыз.
• Рим жүйесі — позициялық емес: $I=1$, $V=5$, $X=10$, $L=50$, $C=100$, $D=500$, $M=1000$. Цифрлар қатарынан үш реттен артық қайталанбайды, азайту жұптары: IV, IX, XL, XC, CD, CM.

Мысалдар

1. $43_{10}$ → екілік. $43:2 = 21$ (қ. 1), $21:2 = 10$ (қ. 1), $10:2 = 5$ (қ. 0), $5:2 = 2$ (қ. 1), $2:2 = 1$ (қ. 0), соңғы бөлінді 1. Кері ретпен: $101011_2$.
2. $2F_{16}$ → ондық. $2 \cdot 16 + 15 \cdot 1 = 47_{10}$.
3. $101011_2$ → сегіздік және он алтылық. Триадалар: $101\ 011 \to 53_8$. Тетрадалар: $0010\ 1011 \to 2B_{16}$. Тексеру: $5 \cdot 8 + 3 = 43$, $2 \cdot 16 + 11 = 43$.
4. $1101_2$ → ондық. $1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 13$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Қалдықтарды бөлу ретімен (жоғарыдан төмен) жазу: дұрысы — кері ретпен, соңғы бөліндіден бастап.
• Соңғы бөліндіні (1) жазбай кету.
• Жаймада разрядтарды 1-ден бастап нөмірлеу: ең кіші разряд — $q^0 = 1$.
• Триадаларды солдан оңға қарай бөлу: топтау оң жақтан басталады.
• Он алтылық әріптердің мәнін шатастыру: A = 10, F = 15.

Өзіңді тексер

1. Он алтылық жүйедегі B цифрының ондық мәні? — 11.
2. $25_{10}$ екілік жүйеде? — $11001_2$.
3. Сегіздік бір цифрға неше екілік разряд сәйкес келеді? — 3 (триада).
4. $FF_{16}$ ондық жүйеде? — 255.
5. 8 разрядты екілік код неше түрлі мән береді? — 256.