Бір шаманың екінші шамаға тәуелді өзгеруіне байланысты берілген логикалық есептер

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 1-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 32, 37–47
• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 2-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 148–152, 154, 155, 164–168

Негізгі ұғымдар

• Тура пропорционалдық: бір шама неше есе артса, екіншісі де сонша есе артады; $\dfrac{y}{x}=k$ тұрақты, $y=kx$.
• Кері пропорционалдық: бір шама неше есе артса, екіншісі сонша есе кемиді; $x\cdot y$ тұрақты.
• «Екеуі де өседі» — әлі тура пропорционалдық емес (квадрат қабырғасы мен ауданы, адам жасы).
• Тәуелділік формуламен, кестемен, графикпен беріледі; тәуелсіз және тәуелді айнымалыны ажырату керек.
• Графиктен: ең үлкен/кіші мән, өсу/кему аралықтары, нөлдер, оң/теріс мәндер оқылады.

Теория

Тура пропорционал шамалар: тұрақты баға кезіндегі мөлшер мен құн; тұрақты жылдамдықтағы жол мен уақыт; квадрат қабырғасы мен периметрі; заттың көлемі мен массасы. Пропорция: $\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}$.

Кері пропорционал шамалар: жұмыс көлемі тұрақты кездегі жұмысшылар саны мен уақыт; жол тұрақты кездегі жылдамдық пен уақыт; ауданы тұрақты тіктөртбұрыштың ұзындығы мен ені. Мұнда $x_1y_1=x_2y_2$; пропорцияда екінші қатынас кері алынады.

Ажырату сұрағы: «бір шама артқанда екіншісі қалай өзгереді?» Бір есепте екі байланыс болуы мүмкін (жұмысшы саны да, күн саны да) — оларды кезекпен ескереміз.

Формула құру.

Сипаттама	Формула
ағыспен жүзу	$s=(v+w)t$
қуып жету (ара қашықтық $d_0$)	$d=d_0-(v_1-v_2)t$
қарама-қарсы бағытта алыстау	$d=d_0+(v_1+v_2)t$
ерітінді концентрациясы	$p=\dfrac{m}{M}\cdot100\%$
жай пайыздық өсім	$S_n=S(1+0{,}01P\cdot n)$
кубтың бет ауданы	$S=6a^2$

Графикті оқу. Ох — тәуелсіз айнымалы (көбіне уақыт), Оу — тәуелді. Ең үлкен мән — ең жоғары нүктенің ординатасы. Қозғалыс графигінде горизонталь бөлік — тұру (жылдамдық 0).

Мысалдар

1. 30 жұмысшы жұмысты 6 күнде бітіреді. Жұмысшы саны 20%-ке көбейсе, жұмыс неше күн бұрын бітеді? Жұмысшы $36$; кері пропорционал: $30\cdot6=180$, $180:36=5$ күн. Жауабы: 1 күн бұрын.
2. 4 тігінші 15 күнде 20 көйлек тігеді. 2 тігінші 9 күнде неше көйлек тігеді? Көйлек саны тігінші санына да, күнге де тура пропорционал: $20\cdot\dfrac24\cdot\dfrac9{15}=6$ көйлек.
3. Арақашықтығы 92 км екі пункттен бір бағытта мотоциклші (37 км/сағ) велосипедшіні (14 км/сағ) қуып шықты. Қашан қуып жетеді? $d=92-23t$; $d=0$ болғанда $t=4$ сағ.
4. 400 г тұзды ерітіндіде 72 г тұз бар. Концентрациясы? $p=\dfrac{72}{400}\cdot100\%=18\%$.
5. Тәуліктік температура графигі: сағат 8-де және 20-да $0^\circ$, ең жоғарғысы $3^\circ$C, ең төменгісі $-2{,}5^\circ$C. Температура қай аралықта оң? Тәуліктік құлаш? Оң — 8-ден 20-ға дейін; құлаш $3-(-2{,}5)=5{,}5^\circ$C.
6. Бірінші бұрқақ минутына 250 л атқылап, резервуарды 30 минутта толтырады. Екіншісі 50 минутта толтырса, минутына неше литр? Кері: $250\cdot30:50=150$ л/мин.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Кері пропорционал есепті тура деп шығарады: «жұмысшы көп — уақыт та көп».
• Екеуі бірге өсетін кез келген шаманы тура пропорционал деп санайды.
• Күрделі есепте екі байланыстың біреуін ғана ескереді.
• Қуып жетуде жылдамдықтарды қосады (айырымы керек); алыстағанда азайтады (қосу керек).
• Жай өсімді күрделі өсіммен шатастырады: $1{,}03^n$ емес, $1+0{,}03n$.
• Графиктен ең үлкен мәнді оқығанда уақытты (абсциссаны) жазады.

Өзіңді тексер

1. Пойыз 2 сағатта 144 км жүреді. 504 км-ді неше сағатта жүреді? — $504\cdot2:144=7$ сағ.
2. Мотоциклші көпірден 10 м/с жылдамдықпен 54 с-та өтті. 12 м/с жылдамдықпен неше секундта өтеді? — $45$ с.
3. 7 000 000 тг айына 3% жай өсіммен 5 айға салынды. Соңғы сома? — $8\,050\,000$ тг.
4. Қыры 5 см кубтың бет ауданы? — $6\cdot25=150$ см².
5. Квадраттың қабырғасы мен ауданы тура пропорционал ма? — Жоқ: қабырға 2 есе артса, аудан 4 есе артады.