Тізбектерді қолдануға берілген логикалық тапсырмалар

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 5-сынып», 1-бөлім, 5-сынып, Атамұра, 2017, с. 64–66
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Бектасова А.И. «Алгебра. 7-сынып», 7-сынып, Атамұра, 2025, с. 123, 124, 127
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 9-сынып», 9-сынып, Атамұра, 2019, с. 81–85, 87–90, 92–95, 97–99

Негізгі ұғымдар

• Тізбек — белгілі ретпен жазылған сандар; $a_n$ — $n$-ші мүше, $n$ — нөмірі.
• Заңдылықты іздеу: көрші мүшелердің айырмасы тұрақты ма, қатынасы тұрақты ма, әлде $a_n$ нөмір арқылы өрнектеле ме ($n^2$, $2n+1$).
• Арифметикалық прогрессия: $a_n=a_1+(n-1)d$, $S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$.
• Геометриялық прогрессия: $b_n=b_1q^{n-1}$, $S_n=\dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ ($q\ne1$).
• Кесте дұрыс па: жиіліктер қосындысы $=n$, салыстырмалы жиіліктер қосындысы $=1$.

Теория

Заңдылықты анықтау. Тек екі мүшеге емес, бүкіл тізбекке қарау керек. $3;6;12;24$ — «3 қосу» емес, «2-ге көбейту». $0;3;8;15;24$ — $x_n=n^2-1$ (тексеру: $n=1$ болғанда $0$). Жетіспейтін алдыңғы мүшені табу үшін заңдылықты кері қолданамыз (айырманы азайтамыз немесе бөлеміз). Формула берілсе, $n$ орнына нөмірді қоямыз: $x_n=(n+3)\cdot2$, $x_7=20$.

Арифметикалық прогрессия (тең өсім).

• Сипаттамалық қасиет: $a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$; шеттерден бірдей қашықтықтағы мүшелердің қосындысы тең.
• $c$ саны мүше ме? $a_1+(n-1)d=c$ теңдеуінен $n$ натурал шықса — иә.
• Мүшелер саны: $n=\dfrac{a_n-a_1}{d}+1$ («+1»-ді ұмытпа!).
• $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2$ (Гаусс: $1+\dots+40=820$).

Геометриялық прогрессия (тең көбейткіш).

• $b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$; $q^2=c$ болса, $q=\pm\sqrt c$ — екі жағдайды да тексер.
• $q=1$ болса, $S_n=nb_1$.

Мәтінді есепте: бірдей қосылатын шама — арифметикалық, бірдей есе өсу — геометриялық прогрессия.

Жиіліктер кестесін тексеру: абсолютті жиіліктер — теріс емес бүтін сандар, қосындысы — таңдама көлемі; салыстырмалы жиіліктер $0$-ден $1$-ге дейін, қосындысы $1$ ($100\%$); орта мән $x_{\min}$ мен $x_{\max}$ арасында. Белгісіз жиілік: $\omega_k=1-(\text{қалғандарының қосындысы})$.

Мысалдар

1. …; 26; 31; 36; 41; … тізбегінде 26-дан бұрынғы төрт мүшені тап. $d=5$, кері бағытта: $21,16,11,6$.
2. 156 саны $2;9;16;\dots$ прогрессиясының мүшесі ме? Ал 295? $d=7$: $2+7(n-1)=156\Rightarrow n=23$ — иә. $2+7(n-1)=295\Rightarrow n-1=\dfrac{293}{7}$ — бүтін емес, мүше емес.
3. Екі таңбалы сандардың ішінде 6-ға еселі неше сан бар? $12,18,\dots,96$: $n=\dfrac{96-12}{6}+1=15$.
4. Шахмат тақтасының 1-торына 1 дән, әр келесісіне 2 есе көп қойылды. Барлығы неше дән? $b_1=1$, $q=2$, $n=64$: $S=2^{64}-1$.
5. Қыры 8 см кубиктерден биіктігі 56 см «баспалдақ» салынды: жоғарғы қатарда 1 кубик, әр төменгі қатарда 1-ге артық. Неше кубик? Қатар $56:8=7$; $1+2+\dots+7=28$.
6. Жиіліктер кестесінде салыстырмалы жиіліктер 0,2; 0,3; 0,3 және белгісіз $\omega_4$. Оны тап. $\omega_4=1-0{,}8=0{,}2$. Ал 12 оқушыға жиіліктер 3, 6, 2, 2 берілсе — қосынды $13\ne12$, кестеде қате.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Заңдылықты екі мүшеге қарап қорытады; айырма мен қатынасты шатастырады.
• Алдыңғы мүшені табуда заңдылықты кері қолданбайды (26-дан бұрын 31 деп жазады).
• $a_n=a_1+nd$, $b_n=b_1q^n$ деп жазады (дұрысы $n-1$).
• Мүшелер санын $\dfrac{a_n-a_1}d$ деп алып, 1-ді қоспайды.
• $q^2=9$ болғанда тек $q=3$ алып, $q=-3$-ті жоғалтады.
• Кестеде жиіліктер қосындысын таңдама көлемімен салыстырмайды.

Өзіңді тексер

1. $1;3;9;27;81$ тізбегінің келесі мүшесі? — 243.
2. $a_1=-2$, $d=0{,}5$. $a_{25}$? — $10$.
3. Екі таңбалы 3-ке еселі сандардың қосындысы? — $\dfrac{12+99}2\cdot30=1665$.
4. 1 мен 256 арасына үш сан қойып, геометриялық прогрессия жаса. — $4,16,64$ немесе $-4,16,-64$.
5. Аяққиім кестесінде жиіліктер $2,4,5,7,10,10,7,5$, ал $n=50$. Кесте дұрыс па? — Иә, қосынды 50.