Геометриялық мазмұндағы логикалық есептер және геометриялық мазмұндағы стандартты емес

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 5-сынып», 2-бөлім, 5-сынып, Атамұра, 2017, с. 136, 137, 149
• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 1-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 55–59
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Бектасова А.И. «Геометрия. 7-сынып», 7-сынып, Атамұра, 2025, с. 66, 69, 70, 73–76, 114
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Геометрия. 8-сынып», 8-сынып, Атамұра, 2018, с. 16–19, 69, 70, 72, 73

Негізгі ұғымдар

• Масштаб $1:k$ — картадағы 1 см жердегі $k$ см-ге сәйкес; нақты ұзындық $=$ картадағы $\cdot\,k$.
• Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы $180^\circ$; $n$-бұрыштыкі $(n-2)\cdot180^\circ$; сыртқы бұрыштар қосындысы әрқашан $360^\circ$.
• Үшбұрыш теңсіздігі: кез келген қабырға қалған екеуінің қосындысынан қатаң кіші.
• Пифагор: $c^2=a^2+b^2$; кері теорема — үшбұрыштың тікбұрышты екенін тексеру.
• Стандартты емес есепте барлық мүмкін жағдайды қарастыр (теңбүйірлі үшбұрыштың қай бұрышы берілген?).

Теория

Бұрыштар. Тік бұрыш $90^\circ$, жазыңқы $180^\circ$. Бұрыш бөліктерге бөлінсе, бөліктерді $x$ арқылы белгілеп теңдеу құрамыз. Екі көрші бұрыштың биссектрисалары арасындағы бұрыш — олардың жарты қосындысы. Сағат тілдері: минут тілі минутына $6^\circ$, сағат тілі сағатына $30^\circ$, яғни минутына $0{,}5^\circ$.

Масштаб. Бірліктерді бірдей ету керек: $1\text{ км}=100\,000$ см. Бір ұзындықты әртүрлі масштабты карталарда салыстырсақ, картадағы кесінді масштаб бөліміне кері пропорционал.

Үшбұрыш. $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$. Теңбүйірлі үшбұрышта табандағы бұрыштар тең; бір бұрыш берілсе — ол табандағы да, төбедегі де болуы мүмкін (екі жағдай). Үшбұрыш бар ма — ең үлкен қабырғаны қалған екеуінің қосындысымен салыстырамыз: $a

Көпбұрыш. Ішкі бұрыштар қосындысы $(n-2)\cdot180^\circ$; дұрыс $n$-бұрыштың бір бұрышы $\dfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$, бір сыртқы бұрышы $\dfrac{360^\circ}{n}$.

Пифагор теоремасы. $c=\sqrt{a^2+b^2}$, $a=\sqrt{c^2-b^2}$. Тікбұрыштылықты тексеру: ең үлкен қабырғаның квадраты қалған екеуінің квадраттарының қосындысына тең бе. Пифагор үштіктері: $3,4,5$; $6,8,10$; $5,12,13$; $9,12,15$; $10,24,26$; $15,20,25$.

Мысалдар

1. Сағат 1:25-те сағат пен минут тілдері арасындағы бұрыш? Минут тілі $25\cdot6^\circ=150^\circ$; сағат тілі $30^\circ+25\cdot0{,}5^\circ=42{,}5^\circ$; айырмасы $107{,}5^\circ$.
2. Масштабы $1:6\,000\,000$ картада екі қала арасы 18 см. Пойыз 75 км/сағ жылдамдықпен неше сағат жүреді? $18\cdot6\,000\,000=108\,000\,000$ см $=1080$ км; $1080:75=14{,}4$ сағ.
3. Теңбүйірлі үшбұрыштың периметрі 50 см, бір қабырғасы 10 см. Қалған қабырғалары? 10 — табан болса: бүйірлері $20,20$ — жарайды. 10 — бүйір болса: табаны $30$, бірақ $10+10<30$ — үшбұрыш жоқ. Жауабы: 20 см және 20 см.
4. Теңбүйірлі үшбұрыштың бір бұрышы $40^\circ$. Қалған бұрыштары? Екі жағдай: $40^\circ,40^\circ,100^\circ$ немесе $40^\circ,70^\circ,70^\circ$.
5. Дұрыс көпбұрыштың әр бұрышы $144^\circ$. Неше қабырғасы бар? Сыртқы бұрыш $36^\circ$; $n=360^\circ:36^\circ=10$.
6. Тіктөртбұрыштың қабырғалары 60 және 91 см. Диагоналі? $\sqrt{3600+8281}=\sqrt{11881}=109$ см.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Сағат тілінің минут ішінде жылжитынын ескермейді.
• Масштабта бөлу мен көбейтуді шатастырады; см-ді км-ге айналдыруда қателеседі.
• Теңбүйірлі үшбұрышта бір жағдайды ғана қарастырады.
• Үшбұрыш теңсіздігінде теңдікті ($2+3=5$) жарамды деп алады немесе ең үлкен қабырғаны тексермейді.
• Көпбұрыш формуласында $(n-2)$ орнына $n$ алады; сыртқы бұрыштар қосындысы $n$-ге тәуелді деп ойлайды.
• Пифагорда квадраттардың орнына қабырғаларды қосады; ең үлкен қабырғаны гипотенуза етіп алмайды.

Өзіңді тексер

1. $2$, $3$, $5$ см кесінділерінен үшбұрыш құруға бола ма? — Жоқ, $2+3=5$.
2. Ішкі бұрыштарының қосындысы $1080^\circ$ көпбұрыштың қабырға саны? — $n=8$.
3. Катет 5, гипотенуза 13. Екінші катет? — 12.
4. $\angle AOB=50^\circ$, $\angle BOC=70^\circ$ (көрші). Олардың биссектрисалары арасындағы бұрыш? — $60^\circ$.
5. Үшбұрыштың бір бұрышы екіншісінен $30^\circ$ үлкен, үшіншісінен $30^\circ$ кіші. Бұрыштары? — $30^\circ,60^\circ,90^\circ$.