Геометриялық фигуралардың периметрі мен ауданының формуласын қолдануға берілген логикалық

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 1-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 60–65
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Бектасова А.И. «Алгебра. 7-сынып», 7-сынып, Атамұра, 2025, с. 11, 19, 20, 25
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Геометрия. 8-сынып», 8-сынып, Атамұра, 2018, с. 96–103
• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 1, 5 класс, с. 54, 55

Негізгі ұғымдар

• Шеңбер ұзындығы: $C=2\pi R=\pi D$; дөңгелек ауданы: $S=\pi R^2$ ($\pi\approx3{,}14$).
• Параллелограмм: $S=ah=ab\sin\alpha$; ромб: $S=\dfrac{d_1d_2}{2}$.
• Үшбұрыш: $S=\dfrac12ah=\dfrac12ab\sin\gamma$; Герон: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $p$ — жарты периметр.
• Трапеция: $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$.
• Сызықтық өлшем $k$ есе өзгерсе, аудан $k^2$ есе, көлем $k^3$ есе өзгереді.

Теория

Шеңбер мен дөңгелек. Радиус берілсе — $C=2\pi R$, диаметр берілсе — $C=\pi D$. Доңғалақ бір айналымда $C$ жол жүреді, $n$ айналымда — $nC$. Шеңбер ұзындығы бойынша ауданды табу: $D=C:\pi$, $R=D:2$, $S=\pi R^2$. Радиус 2 есе артса, аудан 4 есе артады.

Көпбұрыштар.

Фигура	Аудан
параллелограмм	$S=ah$, $S=ab\sin\alpha$
ромб	$S=ah$, $S=a^2\sin\alpha$, $S=\dfrac{d_1d_2}{2}$
үшбұрыш	$S=\dfrac12ah$, $S=\dfrac12ab\sin\gamma$, Герон
тікбұрышты үшбұрыш	$S=\dfrac12$ катеттер көбейтіндісі
трапеция	$S=\dfrac{a+b}2\cdot h$

Аудан мен қабырға белгілі болса, сол қабырғаға жүргізілген биіктік: $h=\dfrac{S}{a}$ (параллелограмм), $h=\dfrac{2S}{a}$ (үшбұрыш). Ромбта қабырға мен бір диагональ белгілі болса, екінші диагональ Пифагормен табылады (диагональдар перпендикуляр және қақ бөлінеді). Трапецияда $a+b=\dfrac{2S}{h}$.

Ұқсас өзгеріс. Шаршы қабырғасы $1{,}5$ есе артса, $S=(1{,}5a)^2=2{,}25a^2$; қабырға 2 есе кемісе, аудан 4 есе кемиді.

Тіктөртбұрыш: периметр — барлық қабырғаларының қосындысы, $P=2(a+b)$; ауданы $S=ab$. Шаршы: $S=a^2$.

Мысалдар

1. Доңғалақтың радиусы 37,5 см, минутына 400 айналым жасайды. Велосипедтің жылдамдығы (км/сағ)? $C=2\cdot3{,}14\cdot37{,}5=235{,}5$ см; минутына $235{,}5\cdot400=94\,200$ см $=942$ м; сағатына $56{,}52$ км.
2. Гүлзар жиегінің ұзындығы 18,84 м. Гүлзар ауданы? $D=18{,}84:3{,}14=6$ м, $R=3$ м, $S=3{,}14\cdot9=28{,}26$ м².
3. Ромбтың қабырғасы 10, бір диагоналі 12. Ауданы мен биіктігі? Жарты диагональдар $6$ және $\sqrt{100-36}=8$; екінші диагональ $16$; $S=\dfrac{12\cdot16}2=96$; $h=96:10=9{,}6$.
4. Трапецияның ауданы 594, биіктігі 22, табандарының айырмасы 6. Табандары? $a+b=\dfrac{2\cdot594}{22}=54$, $a-b=6$; табандар $30$ және $24$.
5. Үшбұрыштың қабырғалары 5, 5, 6 дм. Ауданы? $p=8$; $S=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12$ дм².
6. Киіз үй табанының диаметрі 8 м. Еденнің ауданы? $R=4$; $S=3{,}14\cdot16=50{,}24$ м².

ҰБТ-дағы жиі қателер

• $C=\pi R$ немесе $S=2\pi R$ деп жазады; радиус орнына диаметрді қояды.
• Параллелограмм ауданын көрші қабырғалардың көбейтіндісі деп алады (синусты ұмытады).
• Үшбұрыш пен ромбта $\dfrac12$ көбейткішін, трапецияда 2-ге бөлуді ұмытады.
• Биіктікті басқа қабырғаға жүргізілгенін алады; трапецияда бүйір қабырғаны биіктік деп алады.
• Геронда периметрді жарты периметрдің орнына қояды.
• Қабырға 3 есе артқанда аудан да 3 есе артады деп санайды.

Өзіңді тексер

1. Катеттері 3 және 4 см тікбұрышты үшбұрыштың ауданы? — 6 см².
2. Диагональдары 3,2 және 14 см ромбтың ауданы? — 22,4 см².
3. Радиусы 6378 км экватордың ұзындығы? — $\approx40\,053{,}84$ км.
4. Шаршы қабырғасы 2,5 есе артты. Ауданы неше есе артты? — 6,25 есе.
5. Параллелограмның қабырғалары 2 және 5 см, ауданы 5 см². Сүйір бұрышы? — $\sin\alpha=\tfrac12$, $30^\circ$.