DAMOO

Математикалық сауаттылық · ҰБТ 2026 · 04. Кеңістік пен форма

Геометриялық денелердің бет аудандарының формуласын қолдануға берілген логикалық есептер

Тестті бастау

Тест тапсыру үшін жүйеге кіру немесе тіркелу керек.

Конспект

Оқулықтық тірек

Негізгі ұғымдар

  • Тік бұрышты параллелепипед: 6 жақ (тіктөртбұрыштар), 12 қыр, 8 төбе; қарама-қарсы жақтары тең.
  • Текше (куб): барлық жағы тең шаршылар; бет ауданы $S=6a^2$, көлемі $V=a^3$.
  • Жазба — дененің бетін қырлары бойымен қиып жазықтыққа жайғанда шығатын фигура; жазба ауданы $=$ бет ауданы. Кубтың 11 түрлі жазбасы бар.
  • Сфера — шардың беті; $D=2R$.
  • Қыр $k$ есе өзгерсе, бет ауданы $k^2$ есе, көлем $k^3$ есе өзгереді.

Теория

Параллелепипед. Өлшемдері $a$, $b$, $c$ болса, жақтары — $ab$, $bc$, $ac$ тіктөртбұрыштары, әрқайсысы екі реттен. Сондықтан толық бет ауданы $S=2(ab+bc+ac).$ Барлық қырлардың қосындысы $4(a+b+c)$ (әр өлшем 4 қырда қайталанады).

Текше. 6 тең шаршы: $S=6a^2$ ($a=3$ болса $54$, $a=5$ болса $150$ см²). Қаңқасына $12a$ сым керек (қыры 15 см — 180 см).

Өлшемдердің өзгеруі. Қыры $k$ есе артса, әр жақтың ауданы $k^2$ есе, демек толық бет ауданы да $k^2$ есе артады; көлем $k^3$ есе. Қыры алдымен 2 есе ұзарып, сосын 4 есе қысқарса, $k=\dfrac12$: көлем 8 есе кемиді.

Шар мен сфера. Шар — дене, сфера — оның беті. Шарды жазықтықпен қиғанда дөңгелек шығады. Радиусы $R$ шар қыры кемінде $2R$ текшенің ішіне сияды.

Логикалық тексеру. Бет ауданы — квадрат бірлікпен (см²), көлем — куб бірлікпен (см³). Жазбада жақтар саны 6 болуы және бүктегенде жақтар бір-бірін жаппауы керек.

Бет аудандары

  • Призма: $S_{б}$ — бүйір жақтары аудандарының қосындысы; тік призмада $S_{б}=P_{т}\cdot h$; $S_{т}=S_{б}+2S_{нег}$.
  • Пирамида: $S_{т}=S_{нег}+S_{б}$.
  • Цилиндр: $S=2\pi r(r+h)$. Конус: $S=\pi r(r+l)$. Шар: $S=4\pi r^2$.

Мысалдар

  1. Қыры 5 см текшенің бетін бояу керек. Боялатын аудан? $S=6\cdot25=150$ см².
  2. Өлшемдері 3 см, 6 см, 4 см қорапшаның жазбасын жасау үшін қанша картон керек (жапсыру жиектерінсіз)? $2(3\cdot6+6\cdot4+3\cdot4)=2(18+24+12)=108$ см².
  3. Текшенің қыры 3 есе ұзартылды. Бет ауданы мен көлемі неше есе артты? Аудан $3^2=9$ есе, көлем $3^3=27$ есе.
  4. Қыры 15 см текшенің қаңқасын сымнан жасау үшін неше см сым керек? 12 қыр: $12\cdot15=180$ см $=1$ м 80 см.
  5. Қыры 20 см текше пішінді жәшікке радиусы 2 см шарлар қатар-қатар салынды. Бір қыр бойымен неше шар сияды, барлығы неше шар? Шар диаметрі 4 см; $20:4=5$; барлығы $5\cdot5\cdot5=125$ шар.

ҰБТ-дағы жиі қателер

  • Текшенің қыр санын 8 деп санайды (8 — төбелер, қыр 12).
  • Бет ауданын $6a$ немесе $a^3$ деп жазады; бет ауданы мен көлемді (см² мен см³) шатастырады.
  • Параллелепипедте әр жақты бір рет қана есептейді (2-ге көбейтуді ұмытады).
  • Қыры $k$ есе артқанда бет ауданы да $k$ есе артады деп санайды.
  • Шар мен сфераны бірдей деп санайды; радиус пен диаметрді шатастырады.

Өзіңді тексер

  1. Қыры 3 см текшенің бет ауданы? — 54 см².
  2. Тік бұрышты параллелепипедтің неше жағы, қыры, төбесі бар? — 6, 12, 8.
  3. Текшенің қыры 2 есе кемітілді. Бет ауданы қалай өзгереді? — 4 есе кемиді.
  4. Шардың радиусы 10 см. Оны сыйғызатын ең кіші текшенің қыры? — 20 см.
  5. Кубтың неше түрлі жазбасы бар? — 11.

Осы бөлімнің басқа тақырыптары