Статистикалық кесте, алқап, гистограмма. Жиындар теориясы және логика элементтері

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 5-сынып», 2-бөлім, 5-сынып, Атамұра, 2017, с. 105, 107–109
• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 2-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 127, 140–147
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Бектасова А.И. «Алгебра. 7-сынып», 7-сынып, Атамұра, 2025, с. 124, 125, 131, 136, 137, 168
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 8-сынып», 8-сынып, Атамұра, 2018, с. 120–125, 127, 128
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 9-сынып», 9-сынып, Атамұра, 2019, с. 46–49, 51–53, 56, 57, 59, 63, 184, 185, 192, 193

Негізгі ұғымдар

• Жиіліктер алқабы (полигон) — $(x_i;\,n_i)$ нүктелерін сынық сызықпен қосу; ең биік нүкте — мода.
• Гистограмма — табаны интервал, биіктігі жиілік болатын тіктөртбұрыштар (бір-біріне жанасып тұрады).
• Эйлер–Венн: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$.
• «Немесе» — қосу ережесі, «және» — көбейту ережесі.
• $P_n=n!$, $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$, $C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
• Классикалық ықтималдық: $P(A)=\dfrac mn$, $0\le P(A)\le1$, $P(\bar A)=1-P(A)$.

Теория

Кесте, алқап, гистограмма. Таңдама көлемі $n$ — жиіліктердің қосындысы. Салыстырмалы жиілік $W_i=\dfrac{n_i}{n}$, олардың қосындысы $1$ ($100\%$). Жиіліктер кестесі бойынша орта мән $\bar X=\dfrac{\sum x_in_i}{n}$. Интервалдық кестеде алқап интервалдардың орталары $\dfrac{a+b}2$ бойынша салынады. Тең интервалдарда ($h$) жиіліктер гистограммасының ауданы $n\cdot h$. Бірдей санды барлық мәнге қосса, орта мән сонша артады, құлаш өзгермейді.

Жиындар. $A\cap B$ — қиылысу (ортақ элементтер), $A\cup B$ — бірігу. Үш жиын үшін: $n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C).$ «Тек $A$» $=n(A)-n(A\cap B)$. Еш жиынға жатпайтындар жалпы саннан бөлек есептеледі.

Комбинаторика. Аз нұсқада — іріктеу (тізім, кесте, нұсқалар ағашы). Тәртіп маңызды ма? Маңызды болса — орналастыру/алмастыру, маңызды емес (кесінді $AB=BA$, қол алысу) — теру.

Ұғым	Формула	Мысал
Алмастыру	$P_n=n!$	3 адамның кезекшілігі: $3!=6$
Орналастыру	$A_n^k=n(n-1)\dots(n-k+1)$	4 оқушы 7 орындыққа: $A_7^4=840$
Теру	$C_n^k=\dfrac{A_n^k}{k!}$	12 ойыншы турнирі: $C_{12}^2=66$

Қасиеттер: $C_n^k=C_n^{n-k}$, $C_n^0=C_n^n=1$, $\sum C_n^k=2^n$.

Ықтималдық. Формула тек тең мүмкіндікті нәтижелер үшін. Реті: барлық нәтиже саны $n$ → қолайлылары $m$ → $\dfrac mn$.

Мысалдар

1. Олимпиадада 38 оқушы арифметикалық, 25 оқушы геометриялық есепті, 20 оқушы екеуін де шығарды. Неше оқушы кем дегенде бір есеп шығарды? Тек геометриялықты неше оқушы? $38+25-20=43$; тек геометрия $25-20=5$.
2. Сыныпта 32 оқушы: футбол — 14, баскетбол — 10, волейбол — 8; футбол мен баскетбол — 6, футбол мен волейбол — 5, баскетбол мен волейбол — 4, үшеуі де — 3. Неше оқушы еш турнирге қатыспады? Кем дегенде біреуіне: $14+10+8-6-5-4+3=20$; қатыспағандар $32-20=12$.
3. 4 кофта, 3 юбка, 2 туфлиден неше түрлі киім жиынтығын құрастыруға болады? «Және» — көбейту: $4\cdot3\cdot2=24$.
4. 0, 1, 2, 3 цифрларынан (қайталамай) неше екі таңбалы сан құрылады? Бірінші орынға 0 қоюға болмайды: $3\cdot3=9$ сан.
5. Сыныптағы орташа бой: 10 ұл — 150 см, 15 қыз — 155 см. Барлығының орташа бойы? $\dfrac{150\cdot10+155\cdot15}{25}=153$ см (ал $152{,}5$ — қате).
6. Монета екі рет лақтырылды. Кем дегенде бір рет елтаңба түсу ықтималдығы? Нәтижелер: ЕЕ, ЕС, СЕ, СС — $n=4$, $m=3$; $P=\dfrac34$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Қиылысатын жиындардың сандарын жай қосады, ортақ бөлігін шегермейді.
• «Немесе» мен «және»-ні шатастырады (қосу орнына көбейту және керісінше).
• Тәртібі маңызсыз есепте $AB$ мен $BA$-ны екі рет санайды; теруде $k!$-ке бөлуді ұмытады.
• Модаға мәннің орнына жиілікті жазады.
• Екі топтың ортасын топ көлемін ескермей табады.
• Ықтималдықта бөлімге барлық нәтижені емес, қолайсыздарды қояды; екі таңбалы сандар 90 екенін ұмытады.
• Гистограмма бағандарының арасында бос орын қалдырады.

Өзіңді тексер

1. 17 ұлдың 14-і футболды, 9-ы шахматты ұнатады, әрқайсысы кем дегенде бірін ұнатады. Екеуін де ұнататындар? — $14+9-17=6$.
2. 6 бала әрқайсысы әрқайсысымен бір реттен күреседі. Неше кездесу? — $C_6^2=15$.
3. Шу деңгейі 55, 60, 65, 70, 65, 60, 55, 75, 80, 65 дБ. Модасы? — 65 дБ.
4. Қалтада 6 ақ және 4 қызыл асық бар. Кездейсоқ алынған асықтың қызыл болу ықтималдығы? — $0{,}4$.
5. 6 түрлі шоколад пен 10 түрлі карамельден бір шоколад және бір карамель неше тәсілмен таңдалады? — $6\cdot10=60$.