Бірнеше сандардың арифметикалық ортасы, санды деректердің құлашы, медианасы, модасы

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 2-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 127–131, 133–138, 140, 146, 147, 219
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Бектасова А.И. «Алгебра. 7-сынып», 7-сынып, Атамұра, 2025, с. 122, 123, 125, 168

Негізгі ұғымдар

• Арифметикалық орта $=\dfrac{\text{сандар қосындысы}}{\text{сандар саны}}$.
• Өзгеру құлашы $=x_{\max}-x_{\min}$ — деректердің шашыраңқылығы.
• Медиана — өсу ретімен орналасқан қатардың ортасындағы сан (жұп болса — ортадағы екі санның ортасы).
• Мода — ең жиі кездесетін мән; бірнешеу болуы да, мүлдем болмауы да мүмкін.
• Орташа жылдамдық = барлық жол : барлық уақыт (жылдамдықтардың орташасы емес!).

Теория

Деректер қатарын өңдеу тәртібі:

1. Сандарды өсу ретімен орналастырып, санын ($n$) санау — бұл ығыспалы (вариациялық) қатар.
2. Құлаш: ең үлкені минус ең кішісі.
3. Медиана: $n$ тақ болса — $\dfrac{n+1}{2}$-орындағы сан; $n$ жұп болса — $\dfrac n2$ және $\dfrac n2+1$-орындағы сандардың орташасы.
4. Мода: ең жиі кездесетін сан(дар).
5. Арифметикалық орта: қосынды $:n$.

Логикалық тексеру. Орта мен медиана әрқашан $x_{\min}$ мен $x_{\max}$ аралығында. Қатарда тым үлкен (кіші) мән болса, орта соған қатты ауытқиды, ал медиана аз өзгереді: $2,3,3,4,100$ қатарында орта $22{,}4$, медиана $3$.

Таңдама. Бас жиынтық — зерттелетін барлық объектілер; одан кездейсоқ алынған бөлігі — таңдама, оның элементтер саны — таңдама көлемі $n$. Ығыспалы қатардағы әр түрлі мән — нұсқалық.

Орташа жылдамдық. $v_{\text{орт}}=\frac{s_1+s_2+\dots}{t_1+t_2+\dots}$ Жылдамдықтардың арифметикалық ортасы тек жүру уақыттары тең болғанда ғана дұрыс.

Мысалдар

1. Бес ойыншының ұпайлары: 14, 16, 16, 9, 0. Айдардың ұпайы медианаға тең. Айдар неше ұпай алды? Құлаш пен модасы? Ретпен: $0,9,14,16,16$ — медиана $14$; құлаш $16-0=16$ (0 да дерек!); мода $16$.
2. Жеті күнгі температура: 14, 16, 17, 14, 15, 17, 20. Модасы мен медианасы? Ретпен $14,14,15,16,17,17,20$; медиана $16$; мода екеу — $14$ және $17$; құлаш $6$.
3. 420 км жолдың жартысын 70 км/сағ, жартысын 52,5 км/сағ жылдамдықпен жүрді. Орташа жылдамдық? $t_1=210:70=3$ сағ, $t_2=210:52{,}5=4$ сағ; $v=420:7=60$ км/сағ. (Арифметикалық орта $61{,}25$ — қате жауап.)
4. Велосипедші 13,6 км/сағ-пен 1,5 сағ жүрді, 0,2 сағ демалды, сосын 9,8 км/сағ-пен 0,5 сағ жүрді. Орташа жылдамдық? Жол $20{,}4+4{,}9=25{,}3$ км, уақыт $2{,}2$ сағ; $25{,}3:2{,}2=11{,}5$ км/сағ.
5. Мәнерлеп сырғанау бағалары: 5,2; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 5,6; 5,7. Медиана? $n=8$, ортадағы $5{,}4$ және $5{,}5$; медиана $5{,}45$.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• Медиананы қатарды реттемей алады.
• Жұп $n$ кезінде ортадағы бір санды медиана деп алады.
• Құлашты қосынды ретінде есептейді немесе 0 мәнін ескермейді.
• Екі мода болғанда біреуін ғана жазады; барлық мән бір реттен болса да «мода бар» дейді.
• Орташа жылдамдықты жылдамдықтардың арифметикалық ортасы деп алады.
• Таңдама көлемін ($n$) нұсқалықтар санымен шатастырады.

Өзіңді тексер

1. Шахматтағы ұпайлар 13, 13, 12, 13, 10, 13, 12, 10. Арифметикалық орта? — $96:8=12$.
2. 95, 70, 80, 70, 100, 60, 90 қатарының медианасы? — 80.
3. 1,2; 3,24; 1,9; 2,16; 2 қатарының модасы? — Мода жоқ.
4. Сағаттар тең, жылдамдықтар 62, 75 және 58 км/сағ. Орташа жылдамдық? — $65$ км/сағ.
5. 11; 10; 8; 10; 8; 12; 11; 8 таңдамасының көлемі мен құлашы? — $n=8$, құлаш $4$.