Пайыздық есептеулерге берілген логикалық есептер

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 5-сынып», 2-бөлім, 5-сынып, Атамұра, 2017, с. 112, 114, 116–131, 165–170, 186
• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 1-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 50–53

Негізгі ұғымдар

• Пайыз — жүздің бір бөлігі: $1\%=\dfrac{1}{100}=0{,}01$.
• Әр есепте алдымен қай шама 100% екенін анықта.
• Бөлігін табу — көбейту, бүтінін (100%-ін) табу — бөлу, қатынасын табу — $\dfrac{a}{b}\cdot100\%$.
• $P\%$-ке артық — $(100+P)\%$, $P\%$-ке кем — $(100-P)\%$.
• Бірінен соң бірі өзгерістерде пайыздар қосылмайды: әр қадамда жаңа мән 100% болады.
• Дөңгелек диаграммада $100\%=360^\circ$, $1\%=3{,}6^\circ$.

Теория

Пайыздың үш негізгі есебі.

Не белгілі	Не ізделеді	Формула
сан $a$ және $P\%$	$a$-ның $P\%$-і	$b=a\cdot\dfrac{P}{100}$
бөлік $b$ және оның $P\%$-і	бүтін сан	$a=b:\dfrac{P}{100}$
$a$ және $b$	$a$ саны $b$-ның неше пайызы	$\dfrac{a}{b}\cdot100\%$

Пропорция тәсілі: бүтін — 100%, бөлік — $P\%$; $\text{бүтін}:\text{бөлік}=100:P$. Мысалы, 24 бет — 30% болса, $x:24=100:30$, $x=80$ бет.

Бірізді өзгерістер. $+20\%$, сосын $-20\%$: $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$ — баға 4%-ке арзандады. Жай пайыздық өсім: $S_n=S\left(1+\dfrac{P\cdot n}{100}\right)$ ($S$ — салым, $P$ — жылдық пайыз, $n$ — жыл саны).

Диаграммалар.

• Бағанды — ендері бірдей бағандар, биіктігі мәнге сәйкес (масштаб көрсетіледі); мәндерді салыстыруға ыңғайлы.
• Дөңгелек — бүтіннің бөліктерін (пайыздарын) көрсетеді; сектор бұрышы $=P\cdot3{,}6^\circ$.
• Сызықтық/графиктік — уақыт бойынша өзгерісті көрсетеді.

Диаграммадан ақпарат алу: атауы мен бірлікті оқу → қадамды анықтау → мәнді табу → қосымша есептеу (айырма, қосынды, пайыз).

Мысалдар

1. Тауар бағасы алдымен 20%-ке қымбаттап, кейін 20%-ке арзандады. Баға қалай өзгерді? $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$. Жауабы: 4%-ке арзандады (өзгермеді емес!).
2. Жолаушы 180 км жолдың 40%-ін автомашинамен, қалғанының 95%-ін мотоциклмен жүрді, қалғанын жаяу жүрді. Жаяу неше км? $180\cdot0{,}4=72$; қалды $108$; $108\cdot0{,}95=102{,}6$; жаяу $108-102{,}6=5{,}4$ км.
3. Жолдың 32%-і жүрілген соң 127,5 км қалды. Барлық жол? Қалғаны $68\%$: $127{,}5\cdot100:68=187{,}5$ км.
4. Мәтіндегі сөздердің 35%-і етістік, зат есімдер етістіктің 80%-і, сын есімдер зат есімнің 75%-і. Қалған сөздер неше пайыз? Зат есім $35\cdot0{,}8=28\%$, сын есім $28\cdot0{,}75=21\%$; қалғаны $100-35-28-21=16\%$.
5. Дөңгелек диаграмма: қоспада 15% мыс, 60% қалайы, қалғаны сурьма. Сурьма секторының бұрышы? Сурьма $25\%$; $25\cdot3{,}6^\circ=90^\circ$.
6. 30 оқушының үйірмелерге бөлінуі дөңгелек диаграммада: спорт 50%, шахмат 20%, көркемөнерпаздар 30%. Шахматқа неше оқушы барады? $30\cdot0{,}2=6$ оқушы.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• $+20\%$ және $-20\%$ «бір-бірін жояды» деп санайды.
• Екінші өзгерісті алғашқы мәннен есептейді, ал ол жаңа мәннен есептеледі.
• 100%-ті табуда бөлудің орнына көбейтеді; «қалды» деген деректі жүрілген бөліктің пайызына жатқызады.
• $P\%$-ке артықты табуда тек $P\%$-ті алады, $(100+P)\%$ емес.
• Диаграммадағы пайызды адам санымен теңестіреді: «20% — 20 оқушы».
• Дөңгелек диаграммада бүтінді $180^\circ$ деп алады.

Өзіңді тексер

1. 90 санынан 30%-ке артық сан? — $90\cdot1{,}3=117$.
2. 162 кг қант алу үшін құрамында 18% қанты бар қызылша қанша керек? — $162:0{,}18=900$ кг.
3. 70 оқушының 21-і күреске қатысады. Бұл неше пайыз? — $21\cdot100:70=30\%$.
4. 2 000 000 тг жылдық 3%-пен 4 жылға салынды (жай өсім). Соңғы сома? — $2\,000\,000\cdot1{,}12=2\,240\,000$ тг.
5. Бағанды диаграммада Ертіс бағаны 4,2 см, масштаб 1 см — 1000 км. Өзен ұзындығы? — 4200 км.