Теңдеулердің көмегімен және әріпті өрнектер құру арқылы шешілетін мәтінді есептерге

Оқулықтық тірек

• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 5-сынып», 1-бөлім, 5-сынып, Атамұра, 2017, с. 43, 45, 49, 50, 68
• Алдамұратова Т.А., Байшоланова Қ.С., Байшоланов Е.С. «Математика. 6-сынып», 2-бөлім, 6-сынып, Атамұра, 2018, с. 11–14, 16, 196–198, 200, 204–206, 209
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Бектасова А.И. «Алгебра. 7-сынып», 7-сынып, Атамұра, 2025, с. 162, 163, 165, 166
• Шыныбеков Ә.Н., Шыныбеков Д.Ә., Жұмабаев Р.Н. «Алгебра. 8-сынып», 8-сынып, Атамұра, 2018, с. 56, 61, 62, 88, 92

Негізгі ұғымдар

• Есеп шарты бойынша құрылған өрнек немесе теңдеу — есептің математикалық моделі.
• Шешудің үш кезеңі: модель құру → модельді шешу → жауапты шартқа тексеріп түсіндіру.
• «$a$ есе артық» — $a\cdot x$; «$a$-ға артық» — $x+a$; «$a$-ға кем» — $x-a$.
• Түбір шарттың мағынасына сай болуы керек: адам саны — натурал, ұзындық пен уақыт — оң.
• Теңдеудің түбірі әрқашан жауап бола бермейді: сұрақта басқа шама сұралуы мүмкін.

Теория

Әріпті өрнек құру. Белгісіз немесе өзгеретін шаманы әріппен белгілеп, қалғандарын сол әріп арқылы өрнектейді. Мысалы, шарлар: қызыл $x$, көк $2x$, жасыл $6x$, сары $6x-10$; барлығы $15x-10$; $x=7$ болса, $95$ шар. Өрнекті алдымен ықшамдап, сосын мәнді қойған тиімді.

Сызықтық теңдеу құру реті:

1. Белгісізді $x$-пен белгілеу (өлшем бірлігін жазу).
2. Қалған шамаларды $x$ арқылы өрнектеу.
3. Шарттағы теңдікті теңдеу ретінде жазу, шешу.
4. Түбірді шартпен тексеру, жауапты жазу.

Типтік модельдер.

Есеп түрі	Модель
Қозғалыс	$S=v\cdot t$; қарсы жүрсе $v_1+v_2$, қуаласа $v_1-v_2$
Өзен	ағыспен $v+w$, ағысқа қарсы $v-w$
Жұмыс	жұмыс $=$ өнімділік $\cdot$ уақыт
Жас	барлығының жасы бірдей $t$ жылға артады
«Әрқайсысы әрқайсысымен»	ойын саны $\dfrac{x(x-1)}{2}$

Жүйе екі белгісіз және екі байланыс болғанда құрылады; алмастыру не қосу тәсілімен шешіледі. Теңсіздік «кем емес», «артық емес», «аспайды» деген сөздерде құрылады; жауабы — аралық, одан шартқа сай мәндер таңдалады.

Квадрат теңдеу аудан, көбейтінді, «әрқайсысы әрқайсысымен» және уақыт айырмасы бар қозғалыс есептерінде шығады; мағынасы жоқ (теріс) түбір алынып тасталады.

Мысалдар

1. Әкесі 31, ұлы 5 жаста. Неше жылдан кейін әкесі ұлынан 3 есе үлкен болады? $31+t=3(5+t)\Rightarrow 31+t=15+3t\Rightarrow t=8$. Тексеру: $39=3\cdot13$. Жауабы: 8 жылдан кейін.
2. Бірінші қоймада екіншіден 2 есе көп астық бар. Біріншіден 80 т алып, екіншісіне 40 т әкелгенде, астық теңесті. Алғашында қанша болды? Екіншіде $y$, біріншіде $2y$: $2y-80=y+40\Rightarrow y=120$. Жауабы: $240$ т және $120$ т.
3. Ауладағы лақтар мен тауықтардың басы 17, аяғы 46. Лақ неше? $x+y=17$, $4x+2y=46$. Бірінші теңдеуді 2-ге көбейтіп азайтамыз: $2x=12$, $x=6$, $y=11$. Жауабы: 6 лақ.
4. Турнирде әр қатысушы әрқайсысымен бір рет ойнап, 78 партия өтті. Неше қатысушы болды? $\dfrac{x(x-1)}{2}=78\Rightarrow x^2-x-156=0\Rightarrow x=13$ ($x=-12$ жарамсыз). Жауабы: 13.
5. Қалам 15 тг, дәптер 40 тг; барлығына 270 тг жұмсалды. Неше қалам, неше дәптер сатып алуға болады? $15q+40d=270\Rightarrow3q+8d=54$. Натурал шешімдер: $(q;d)=(10;3)$ және $(2;6)$. Логикалық тексеру: $54-8d$ саны 3-ке бөлінуі керек, яғни $d$ — 3-ке еселі.

ҰБТ-дағы жиі қателер

• «3 есе артық» пен «3-ке артық» тіркестерін шатастырады ($3x$ және $x+3$).
• Өрнекті ықшамдағанда еркін мүшені жоғалтады: $x+2x+6x+(6x-10)\ne15x$.
• Ағыспен және ағысқа қарсы жылдамдықты ауыстырады; қарсы қозғалыста жылдамдықтарды азайтады.
• 17 %-ке кемігенде $0{,}17x$ деп жазады, ал қалғаны $0{,}83x$.
• Теріс немесе бөлшек түбірді (адам саны, ұзындық) алып тастамайды.
• 12 минутты $0{,}12$ сағат деп алады; дұрысы $\dfrac15$ сағ.

Өзіңді тексер

1. Қосындысы 60, бірі екіншісінен 4-ке артық сандар? — $x+(x+4)=60$, сандар 28 және 32.
2. 1 кг алма мен 1 кг алмұрт 275 тг, 3 кг алма 4 кг алмұрттан 50 тг арзан. Алманың бағасы? — $x+y=275$, $3x=4y-50$; алма 150 тг.
3. Тік төртбұрыштың ені ұзындығынан 5 есе кем, ауданы 720 см². Қабырғалары? — $5a^2=720$, $a=12$; 12 см және 60 см.
4. Теплоход ағыспен $25$ км/сағ, ағысқа қарсы $20$ км/сағ жүреді. Ағыс жылдамдығы? — $(25-20):2=2{,}5$ км/сағ.
5. Әкесі 34, баласы 11 жаста. Неше жылдан кейін әкесі баласынан 2 есе үлкен болады? — $34+t=2(11+t)$, $t=12$.