Электромагнитные колебания. Переменный ток

Учебниковая опора

• Закирова Н. А., Аширов Р. Р. «Физика. 11 класс (ЕМН)», часть 1, 11 класс, Арман-ПВ, 2020, с. 14–35, 37–45, 51–59

Главное

• Колебательный контур — катушка $L$ и конденсатор $C$; в нём заряд, ток и напряжение меняются периодически.
• Формула Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$, $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$; период зависит только от $L$ и $C$.
• Энергия контура: $W = \dfrac{q^2}{2C} + \dfrac{Li^2}{2} = \text{const}$ (без потерь).
• Переменный ток — вынужденные электромагнитные колебания; в Казахстане $\nu = 50$ Гц, $T = 0{,}02$ с.
• Действующие значения: $I = \dfrac{I_m}{\sqrt2}$, $U = \dfrac{U_m}{\sqrt2}$; сеть 220 В имеет амплитуду ≈ 311 В.
• Сопротивления: $X_L = \omega L$, $X_C = \dfrac{1}{\omega C}$, $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
• Трансформатор: $\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{N_1}{N_2} = k$; $k > 1$ — понижающий, $k < 1$ — повышающий.

Теория

Свободные колебания в контуре. Возбуждаются зарядкой конденсатора (или ЭДС в катушке). Уравнение $q'' = -\dfrac{1}{LC}q$; $q = q_m\cos\omega_0t$, $i = q' = -I_m\sin\omega_0t$, $I_m = q_m\omega_0$. Ток опережает заряд на $\pi/2$: когда заряд максимален, ток равен нулю. Напряжение $u = q/C$ — в фазе с зарядом. Энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки и обратно. В реальном контуре колебания затухают из-за активного сопротивления; незатухающие дают автоколебательные системы (генератор на транзисторе: источник энергии, клапан-транзистор, обратная связь).

Электромеханическая аналогия

Механика	Электричество
$x$	$q$
$v = x'$	$i = q'$
$m$	$L$
$k$	$1/C$
$mv^2/2$	$Li^2/2$
$kx^2/2$	$q^2/(2C)$

Генератор переменного тока. Рамка вращается в поле: $\Phi = BS\cos\omega t$, $\varepsilon = NBS\omega\sin\omega t$, $\varepsilon_m = NBS\omega$. Части: индуктор (создаёт поле), якорь (обмотка с ЭДС), кольца со щётками; ротор и статор. Для 50 Гц: $pn = 50$ Гц ($p$ — число пар полюсов).

Нагрузки в цепи переменного тока

Элемент	Сопротивление	Фаза тока относительно напряжения	Средняя мощность
Резистор	$R$	синфазно	$P = I^2R$
Катушка	$X_L = \omega L$ (растёт с частотой)	отстаёт на $\pi/2$	0
Конденсатор	$X_C = 1/(\omega C)$ (убывает с частотой)	опережает на $\pi/2$	0

Цепь RLC. $I_m = \dfrac{U_m}{Z}$, $\tan\varphi = \dfrac{X_L - X_C}{R}$, $\cos\varphi = \dfrac RZ$. Мощность: активная $P = UI\cos\varphi$ (Вт), реактивная $Q = UI\sin\varphi$ (вар), полная $S = UI$ (В·А), $S^2 = P^2 + Q^2$.

Резонанс напряжений: при $X_L = X_C$, т. е. $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $Z = R$ — минимально, ток максимален, $\varphi = 0$. Напряжения на $L$ и $C$ могут во много раз превышать входное ($U_L = QU_{вх}$, добротность $Q = \frac1R\sqrt{L/C}$). Применение — настройка радиоприёмника, фильтры; опасность — пробой изоляции.

Трансформатор — стальной сердечник и обмотки; работает только на переменном токе (электромагнитная индукция). КПД до 99 %, поэтому $\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{N_2}{N_1}$; частота не меняется.

Передача энергии. Потери $Q = I^2Rt$; при $P = UI\cos\varphi$ повышение напряжения в 10 раз снижает ток в 10 раз, а потери — в 100 раз. Схема: генератор → повышающий трансформатор → ЛЭП → понижающие подстанции → 380/220 В.

Примеры

1. Томсон. $L = 2{,}5$ мГн, $C = 0{,}25$ мкФ: $T = 2\pi\sqrt{2{,}5\cdot10^{-3}\cdot2{,}5\cdot10^{-7}} \approx 1{,}57\cdot10^{-4}$ с.
2. Действующие значения. Чайник $R = 22$ Ом в сети 220 В: $I = 10$ А, $I_m \approx 14{,}1$ А, $U_m \approx 311$ В, $P = I^2R = 2{,}2$ кВт.
3. Ёмкостное сопротивление. $C = 10$ мкФ, 50 Гц: $X_C = \dfrac{1}{100\pi\cdot10^{-5}} \approx 318$ Ом; при 220 В $I \approx 0{,}69$ А.
4. Генератор. $N = 100$, $S = 0{,}04$ м², $B = 0{,}01$ Тл, $\omega = 1$ рад/с: $\varepsilon_m = 0{,}04$ В.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Путают амплитудное и действующее значения (различие в $\sqrt2$ раз); приборы показывают действующие.
• Путают сдвиг фаз: на катушке ток отстаёт, на конденсаторе опережает напряжение.
• Складывают $X_L$ и $X_C$ арифметически вместо разности; складывают напряжения на элементах без учёта фаз.
• Считают, что при росте частоты $X_C$ растёт (на самом деле убывает).
• Ставят в соответствие $k$ ёмкость $C$, а не $1/C$.
• Думают, что трансформатор меняет частоту или работает на постоянном токе.

Самопроверка

1. Как изменится период контура, если ёмкость увеличить в 4 раза? — Увеличится в 2 раза.
2. Каков сдвиг фаз между зарядом и током в контуре? — $\pi/2$, ток опережает заряд.
3. Чему равно полное сопротивление при резонансе напряжений? — $Z = R$.
4. $N_1 = 1000$, $N_2 = 50$, $U_1 = 220$ В. Чему равно $U_2$? — 11 В (понижающий, $k = 20$).
5. Во сколько раз уменьшатся потери в ЛЭП при повышении напряжения в 10 раз? — В 100 раз.