Механические колебания

Учебниковая опора

• Закирова Н. А., Аширов Р. Р. «Физика. 9 класс», 9 класс, Арман-ПВ, 2019, с. 142–148, 152–162
• Закирова Н. А., Аширов Р. Р. «Физика. 11 класс (ЕМН)», часть 1, 11 класс, Арман-ПВ, 2020, с. 6–9, 12

Главное

• Колебательное движение — движение, периодически повторяющееся во времени. Характеристики: смещение $x$, амплитуда $A$, период $T = t/N$, частота $\nu = N/t = 1/T$ (Гц), циклическая частота $\omega = 2\pi\nu = 2\pi/T$.
• Гармонические колебания — по закону синуса или косинуса; возникают под действием силы, пропорциональной смещению и направленной к положению равновесия: $F = -kx$.
• Свободные колебания — под действием внутренних сил (затухают из-за трения); вынужденные — под действием внешней периодической силы, с её частотой.
• Периоды: пружинный маятник $T = 2\pi\sqrt{m/k}$, математический $T = 2\pi\sqrt{l/g}$; от амплитуды не зависят.
• Резонанс — резкий рост амплитуды вынужденных колебаний при $\nu_{внеш} = \nu_0$.

Теория

Колебательные системы: тело на пружине, тело на нити, поплавок на воде, струна, пластина, зажатая одним концом. Положение равновесия — положение, где равнодействующая равна нулю. Пройдя его, тело продолжает двигаться по инерции.

Уравнение колебаний. Из $ma = -kx$: $x'' = -\omega_0^2x$, где $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ (пружина) или $\omega_0 = \sqrt{g/l}$ (нить, малые углы, $\sin\alpha \approx \alpha$, $F_R = -\dfrac{mg}{l}x$). Решения: $x = A\cos\omega_0t$ (старт из крайнего положения) или $x = A\sin\omega_0t$ (старт из положения равновесия). Фаза $\varphi = \omega t + \varphi_0$ (рад): за период растёт на $2\pi$, за полпериода — на $\pi$, за четверть — на $\pi/2$. Гармоническое колебание — это проекция равномерного движения по окружности радиуса $R = A$.

Скорость и ускорение: $v = -A\omega\sin\omega t$, $v_{max} = A\omega$; $a = -A\omega^2\cos\omega t$, $a_{max} = A\omega^2$. Скорость опережает координату на $\pi/2$, ускорение колеблется в противофазе с координатой. В положении равновесия скорость максимальна, ускорение равно нулю; в крайних точках — наоборот.

Энергия. В крайней точке $E = \dfrac{kA^2}{2}$ (вся потенциальная), в положении равновесия $E = \dfrac{mv_{max}^2}{2}$ (вся кинетическая). В любой точке $\dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{kx^2}{2} = \dfrac{kA^2}{2}$. При $x = A/2$ потенциальная энергия — $1/4$ полной. Для маятника $v_{max} = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha_{max})}$. При затухании энергия переходит во внутреннюю.

Зависимость периода: пружинного — только от $m$ и $k$; математического — только от $l$ и $g$ (не от массы!). Увеличение $m$ или $l$ в 4 раза увеличивает $T$ в 2 раза. Обратные формулы: $k = \dfrac{4\pi^2m}{T^2}$, $l = \dfrac{gT^2}{4\pi^2}$, $g = \dfrac{4\pi^2l}{T^2}$.

Резонанс. При совпадении частот внешняя сила всё время действует в такт, её работа положительна, энергия растёт; предел роста задаёт сопротивление. Польза: дека музыкальных инструментов, перфоратор, дробление пород, раскачивание качелей. Вред: разрушение мостов (Анжер 1750, Манчестер 1830, Египетский мост в Петербурге 1906, Такомский мост 1940), раскачивание вагонов на стыках рельсов. Борьба: изменить собственную частоту конструкции или частоту воздействия; в высотных зданиях — массивные резервуары с водой.

Формулы

Величина	Формула
Период, частота	$T = t/N = 1/\nu$, $\omega = 2\pi/T$
Закон движения	$x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$
Максимумы	$v_{max} = A\omega$, $a_{max} = A\omega^2$
Пружинный маятник	$T = 2\pi\sqrt{m/k}$
Математический маятник	$T = 2\pi\sqrt{l/g}$
Энергия	$E = kA^2/2 = mv_{max}^2/2$

Примеры

1. Период и частота. 50 колебаний за 1 мин 40 с: $T = 100/50 = 2$ с, $\nu = 0{,}5$ Гц.
2. Из уравнения. $x = 0{,}04\cos10\pi t$: $A = 0{,}04$ м, $\omega = 10\pi$ рад/с, $T = 0{,}2$ с, $\nu = 5$ Гц, $v_{max} \approx 1{,}26$ м/с, $a_{max} \approx 39{,}5$ м/с².
3. Энергия. Груз 0,4 кг, $k = 250$ Н/м, $A = 0{,}15$ м: $E = 250\cdot0{,}15^2/2 \approx 2{,}81$ Дж, $v_{max} = A\sqrt{k/m} = 3{,}75$ м/с.
4. Фаза. Шарик стартует из положения равновесия, $A = 0{,}1$ м; при $t = T/12$: $x = 0{,}1\sin\dfrac{\pi}{6} = 0{,}05$ м.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Считают, что период зависит от амплитуды или (у математического маятника) от массы груза.
• Забывают корень: при росте массы в 4 раза период растёт в 2 раза, а не в 4.
• Путают $\nu$ и $\omega$ (множитель $2\pi$); путают амплитуду и размах ($2A$).
• Считают, что вынужденные колебания идут с собственной частотой системы.
• Считают, что в крайних точках максимальна кинетическая энергия.
• Берут $x = A\cos\omega t$ при старте из положения равновесия.

Самопроверка

1. Как изменится период математического маятника, если длину нити увеличить в 9 раз? — Увеличится в 3 раза.
2. Где ускорение колеблющегося тела максимально? — В точках наибольшего отклонения.
3. Чем вынужденные колебания отличаются от свободных? — Идут под действием внешней периодической силы, с её частотой, и не затухают.
4. Какая доля энергии кинетическая при $x = A/2$? — 3/4.
5. Условие резонанса? — Частота вынуждающей силы равна собственной частоте системы.