Элементы теории относительности

Учебниковая опора

• Кронгарт Б., Казахбаева Д., Иманбеков О., Кыстаубаев Т. «Физика. 10 класс ЕМН», 10 класс, Мектеп, 2019, с. 46–52
• Закирова Н. А., Аширов Р. Р. «Физика. 11 класс (ЕМН)», часть 1, 11 класс, Арман-ПВ, 2020, с. 157–166

Главное

• Принцип относительности Галилея: законы механики одинаковы во всех ИСО; время абсолютно, скорости складываются: $v_1 = v_2 + v$.
• Опыт Майкельсона — Морли (1881) дал отрицательный результат: «эфирного ветра» нет, скорость света не зависит от системы отсчёта.
• Постулаты Эйнштейна (1905): 1) все физические процессы протекают одинаково во всех ИСО; 2) скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО и не зависит от скорости источника и приёмника.
• Релятивистские эффекты: замедление времени, сокращение длины, рост массы, новый закон сложения скоростей.
• Связь массы и энергии: $E = mc^2$, энергия покоя $E_0 = m_0c^2$.
• Принцип соответствия: при $v \ll c$ формулы СТО переходят в классические.

Теория

Почему понадобилась новая теория. Из уравнений Максвелла следует скорость света $c = 3\cdot10^8$ м/с. По классическому сложению в движущейся системе она была бы $c \pm v$ — тогда существовала бы особая система («эфир», гипотеза Лоренца). Интерферометр Майкельсона, плавающий на ртути, при повороте на 90° не показал смещения полос. Эйнштейн отказался от абсолютности пространства и времени.

Инвариантные и относительные величины в классической механике. Относительны координата, скорость, траектория, кинетическая энергия; инвариантны длина, промежуток времени, масса, ускорение, сила. В СТО длина и промежуток времени становятся относительными.

Преобразования Лоренца: $x_2 = \frac{x_1 - vt_1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},\qquad t_2 = \frac{t_1 - vx_1/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.$

Следствия

• Замедление времени: $\tau = \dfrac{\tau_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, $\tau_0$ — собственное время (по часам, движущимся вместе с объектом). Движущиеся часы идут медленнее.
• Сокращение длины: $l = l_0\sqrt{1 - v^2/c^2}$, $l_0$ — собственная длина; сокращаются только размеры вдоль движения.
• Сложение скоростей: $u_1 = \dfrac{u + u_2}{1 + uu_2/c^2}$ — результат никогда не превышает $c$.

Релятивистская динамика. $m = \dfrac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, $\vec p = m\vec v$; при $v \to c$ масса стремится к бесконечности, поэтому тело с массой покоя нельзя разогнать до скорости света. Второй закон: $\vec F = \dfrac{\Delta\vec p}{\Delta t}$. Полная энергия $E = mc^2$, кинетическая $E_k = (m - m_0)c^2$; классическая $m_0v^2/2$ при больших скоростях даёт заниженный результат. $\Delta m = \Delta E/c^2$ — источник энергии ядерных реакций.

Ускорители: разгоняет частицы электрическое поле, управляет магнитное; линейные и циклические (циклотрон, фазотрон, синхротрон, синхрофазотрон), коллайдеры — встречные пучки. В Институте ядерной физики Казахстана на циклотронах У-150М и С-30 получают радиоизотопы.

Формулы

Эффект	Формула
Множитель Лоренца	$\sqrt{1 - v^2/c^2}$
Замедление времени	$\tau = \tau_0/\sqrt{1 - v^2/c^2}$
Сокращение длины	$l = l_0\sqrt{1 - v^2/c^2}$
Сложение скоростей	$u_1 = \dfrac{u + u_2}{1 + uu_2/c^2}$
Масса	$m = m_0/\sqrt{1 - v^2/c^2}$
Энергия	$E = mc^2$, $E_k = (m - m_0)c^2$

Полезные значения: $v = 0{,}6c$ → множитель 0,8; $v = 0{,}8c$ → 0,6; $v = 0{,}99c$ → ≈ 0,141.

Примеры

1. Время. На корабле ($v = 0{,}99c$) прошло 20 лет. На Земле: $\tau = 20/0{,}141 \approx 142$ года.
2. Длина. Стержень $l_0 = 1$ м движется со скоростью $0{,}6c$: $l = 1\cdot0{,}8 = 0{,}8$ м.
3. Скорости. Две частицы летят навстречу со скоростями $0{,}95c$: $u = \dfrac{1{,}9c}{1 + 0{,}9025} \approx 0{,}999c$ (классически было бы $1{,}9c$).
4. Энергия покоя. 1 кг вещества: $E_0 = 1\cdot(3\cdot10^8)^2 = 9\cdot10^{16}$ Дж.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Путают собственное время $\tau_0$ и время неподвижного наблюдателя: в движущейся системе время меньше.
• Считают, что сокращаются поперечные размеры тела.
• Складывают околосветовые скорости классически и получают больше $c$.
• Считают кинетическую энергию быстрой частицы по формуле $m_0v^2/2$.
• Путают постулаты: второй постулат — о независимости $c$ от движения источника и приёмника.

Самопроверка

1. Какой опыт показал отсутствие эфира? — Опыт Майкельсона — Морли (1881).
2. Как изменится длина стержня при $v = 0{,}8c$? — Станет $0{,}6\,l_0$.
3. Может ли тело с массой покоя достичь скорости света? — Нет: его масса стремилась бы к бесконечности.
4. Во сколько раз масса электрона при $v = 0{,}6c$ больше массы покоя? — В 1,25 раза.
5. Что утверждает принцип соответствия? — При $v \ll c$ формулы СТО переходят в формулы классической механики.