Логические задачи на изменение одной величины в зависимости от другой

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 1, 5 класс, Атамұра, 2017, с. 27, 50, 55, 64, 196
• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 5 класс, Атамұра, 2017, с. 46, 47, 75, 165
• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 6 класс, Атамұра, 2018, с. 148–151, 157, 160, 161, 164, 165, 168, 170, 171, 176

Главное

• Прямая пропорциональность: во сколько раз растёт одна величина, во столько же растёт другая; $\dfrac yx=k$, $y=kx$, график — прямая через начало координат.
• Обратная пропорциональность: одна растёт во столько раз, во сколько уменьшается другая; $xy=\text{const}$.
• «Обе растут» ещё не значит «пропорциональны» (возраст брата и сестры, сторона и площадь квадрата).
• Зависимость задаётся формулой, таблицей, графиком; важно различать независимую и зависимую переменные.
• По графику читают наибольшее/наименьшее значение, промежутки роста и убывания, нули, знак.

Теория

Прямая пропорциональность: путь и время при постоянной скорости ($s=60t$: 120, 180, 240 км за 2, 3, 4 ч — отношение всегда 60); стоимость и количество при постоянной цене; урожай и площадь. Проверка — постоянство отношения, а не разности. Пример непропорциональности: сестре 3, брату 8; через год 4 и 9 — отношения $2\tfrac23$ и $2\tfrac14$ различны.

Обратная пропорциональность: скорость и время на одном пути (144 км: 12 км/ч — 12 ч, 36 км/ч — 4 ч); число работников и время при одном объёме работы.

Приведение к единице помогает в задачах с двумя зависимостями: сначала найти работу одного исполнителя за единицу времени, затем умножить.

Формулы по описанию.

Описание	Формула
движение по течению	$s=(v+u)t$
стоимость покупки	$C=a\cdot n$
периметр и площадь квадрата	$P=4a$, $S=a^2$
поверхность куба	$S=6a^2$
равномерное наполнение 1,5 м³/мин	$V=1{,}5t$

График прямой пропорциональности $y=kx$ проходит через $O$; $k=\dfrac yx$ по любой точке (например, через $A(4;2)$: $k=0{,}5$). Смысл $k$: скорость, цена, производительность.

Графики реальных процессов. Значения читают по оси ординат; «убывает» не значит «отрицательна».

Примеры

1. 1 кошка ловит 1 мышь за 2 мин. Сколько мышей поймают 4 кошки за 4 мин? Одна кошка за 4 мин — 2 мыши, 4 кошки — $8$ мышей.
2. 1 ювелир за день делает $\tfrac12$ кольца. Сколько колец сделают 6 ювелиров за 6 дней? $\tfrac12\cdot6\cdot6=18$ колец.
3. Путь 144 км велосипедист проезжает за 12 ч. За сколько часов проедет мотоциклист со скоростью в 3 раза больше? Обратная пропорциональность: $12:3=4$ ч.
4. Станок за 1 ч выпускает 4 м ткани ($y=4x$). Сколько ткани за 2,5 ч? $4\cdot2{,}5=10$ м; $k=4$ м/ч — производительность.
5. График суточной температуры: 0 °C в 8 ч и 20 ч, максимум $+3$ °C, минимум $-2{,}5$ °C. Когда температура положительна? Размах? С 8 до 20 ч; размах $3-(-2{,}5)=5{,}5$ °C.
6. Со 100 га собрали 2870 ц хлопка. Сколько соберут с 10 га при той же урожайности? Прямая пропорциональность: $287$ ц.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Применяют прямую пропорциональность там, где обратная: «больше скорость — больше время».
• Считают пропорциональной любую зависимость, где обе величины растут.
• Проверяют пропорциональность по разности, а не по отношению.
• В задачах с двумя зависимостями не приводят к единице.
• Путают $S=6a^2$ и $6a$, площадь $a^2$ и периметр $4a$.
• Принимают за график прямой пропорциональности прямую, не проходящую через начало координат; читают значения по абсциссе.

Самопроверка

1. Звук проходит 332,5 м за 1 с. Сколько за 4 с? — 1330 м.
2. Путь 420 км, скорость 70 км/ч. Время? — 6 ч.
3. Катер: $v=15$ км/ч, течение $u=2$ км/ч, 2 ч по течению. Путь? — $34$ км.
4. График прямой пропорциональности проходит через $(4;2)$. Формула и $y$ при $x=10$? — $y=0{,}5x$, $y=5$.
5. 6 тетрадей стоят 210 тг. Чему равен $k$ в $C=kn$ и что он означает? — $35$ — цена одной тетради.